Zur Topologie des dreidimensionalen Raumes.
Verf. gibt hier einige Beispiele zur Topologie des dreidimensionalen Raumes, durch die die Schwierigkeiten, die der Lösung des \textit{Poincaré}schen Homöomorphieproblems für die dreidimensionale Sphäre entgegenstehen, beleuchtet werden. Bekanntlich kann jede dreidimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit \(M^3\) aus einem dreidimensionalen Element \(E^3\) durch geeignete Randidentifikationen hergestellt werden; die identifizierten Randelemente von \(E^3\) bilden dabei einen zweidimensionalen Komplex \(K^2\) in der \(M^3\), der die \(M^3\) ``darstellt''. Ist \(M^3\) einfach zusammenhängend, so wird der Komplex \(K^2\) einfach zusammenhängend in dem Sinne, daß alle seine Homologiegruppen und seine Fundamentalgruppe nur aus dem Nullelement bzw. Einselement bestehen. Umgekehrt kann jeder in diesem engeren Sinne einfach zusammenhängende \(K^2\), der sich überhaupt in eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit einbetten läßt, als ``Darstellung'' einer einfach zusammenhängenden \(M^3\) gedeutet werden. Wenn nun jeder in eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit einbettbare, einfach zusammenhängende \(K^2\) freie Kanten (d. h. Kanten, an die nur ein Dreieck angrenzt) besäße, so könnte man durch sukzessiven Abbau der Dreiecke zu einem einfach zusammenhängenden eindimensionalen Komplex und dann durch Abbau der Seiten von den freien Ecken ausschließlich zu einem einzigen Punkt gelangen. Verf. gibt hier ein -- übrigens wohl in anderm Zusammenhange manchem Topologen bekanntes -Beispiel eines \(K^2\) im dreidimensionalen euklidischen Raume, der keine freien Kanten besitzt. Ein zweiter Zugang zum \textit{Poincaré}schen Problem bietet sich in der folgenden Überlegung: Jede Darstellung einer \(M^3\) führt zu einer Zerlegung der \(M^3\) in zwei ``Ringräume'' (d. h. Vollkugeln mit Henkeln) mit gemeinsamer Oberfläche \(M^2\). Ferner kann man schließen, daß es auf der \(M^2\) (von Geschlecht \(p\)) \(p\) einfach geschlossene Kurven \(c_1, c_2, \dots, c_p\) gibt, die paarweise fremd sind und die Eigenschaft haben, daß alle geschlossenen Kurven des einen R ingraumes \(L^3\) homotop Eins werden, wenn man die \(c_i\) durch Einspannen je eines zweidimensionalen Elements homotop Eins macht. In Verbindung mit dem \textit{Dehn}schen Lemma (Dehn, 1910; F. d. M. 41, 543) würde sich daraus die Bestätigung der \textit{Poincaré}schen Vermutung ergeben, wenn man schließen könnte: Die \(c_i\) lassen sich zu einem Kurvensystem in ``kanonischer Lage'' ergänzen, d. h. es gibt \(p\) einfach geschlossene Kurven \(b_1, b_2, \dots, b_p\) so daß \(b_i\) mit \(c_k\) für \(i \neq k\) keinen, für \(i = k\) genau einen Schnittpunkt aufweist und alle \(b_i\) in \(L^3\) homotop Eins sind. (Vgl. hierzu die gruppentheoretische Formulierung des Problems von \textit{Poincaré}, 1904; F. d. M. 35, 504 (JFM 35.0504.*)-505.) Verf. zeigt nun durch ein mit Hilfe des vorher konstruierten \(K^2\) gebildetes Beispiel, daß die Ergänzung zu einem Kurvensystem in kanonischer Lage für \(p \geqq 3\) nicht immer möglich, also auch -- abgesehen von der im \textit{Dehn}schen Lemma liegenden Schwierigkeit -- der zweite Weg zum Beweis der \textit{Poincaré}schen Vermutung nicht gangbar ist. Diesem Ergebnis gibt Verf. noch eine andere interessante geometrische Formulierung. Schließlich wird, wieder auf Grund der vorhergehenden Beispiele, eine Zerlegung eines Elementes \(E^3\) in Simplexe gegeben, so daß es nicht möglich ist, aus dem \(E^3\) ein Simplex wegzulassen, ohne dessen Eigenschaft, Element zu sein, zu zerstören. Damit ist gezeigt, daß das Homöomorphieproblem für das \(E^3\) nicht in Analogie zum \(E^2\) durch sukzessiven Abbau der Teilsimplexe bewältigt werden kann.
scientific article; zbMATH DE number 2557659