Zur Topologie des dreidimensionalen Raumes.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zur Topologie des dreidimensionalen Raumes.
zbMATH Open document ID: 57.0724.01
DOI: 10.1007/BF01700708
author: F. Frankl
published in: Monatshefte für Mathematik und Physik
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. gibt hier einige Beispiele zur Topologie des dreidimensionalen Raumes, durch die die Schwierigkeiten, die der Lösung des \textit{Poincaré}schen Homöomorphieproblems für die dreidimensionale Sphäre entgegenstehen, beleuchtet werden. Bekanntlich kann jede dreidimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit \(M^3\) aus einem dreidimensionalen Element \(E^3\) durch geeignete Randidentifikationen hergestellt werden; die identifizierten Randelemente von \(E^3\) bilden dabei einen zweidimensionalen Komplex \(K^2\) in der \(M^3\), der die \(M^3\) ``darstellt''. Ist \(M^3\) einfach zusammenhängend, so wird der Komplex \(K^2\) einfach zusammenhängend in dem Sinne, daß alle seine Homologiegruppen und seine Fundamentalgruppe nur aus dem Nullelement bzw. Einselement bestehen. Umgekehrt kann jeder in diesem engeren Sinne einfach zusammenhängende \(K^2\), der sich überhaupt in eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit einbetten läßt, als ``Darstellung'' einer einfach zusammenhängenden \(M^3\) gedeutet werden. Wenn nun jeder in eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit einbettbare, einfach zusammenhängende \(K^2\) freie Kanten (d. h. Kanten, an die nur ein Dreieck angrenzt) besäße, so könnte man durch sukzessiven Abbau der Dreiecke zu einem einfach zusammenhängenden eindimensionalen Komplex und dann durch Abbau der Seiten von den freien Ecken ausschließlich zu einem einzigen Punkt gelangen. Verf. gibt hier ein -- übrigens wohl in anderm Zusammenhange manchem Topologen bekanntes -Beispiel eines \(K^2\) im dreidimensionalen euklidischen Raume, der keine freien Kanten besitzt. Ein zweiter Zugang zum \textit{Poincaré}schen Problem bietet sich in der folgenden Überlegung: Jede Darstellung einer \(M^3\) führt zu einer Zerlegung der \(M^3\) in zwei ``Ringräume'' (d. h. Vollkugeln mit Henkeln) mit gemeinsamer Oberfläche \(M^2\). Ferner kann man schließen, daß es auf der \(M^2\) (von Geschlecht \(p\)) \(p\) einfach geschlossene Kurven \(c_1, c_2, \dots, c_p\) gibt, die paarweise fremd sind und d…
reviewed by: Erika Dr. Pannwitz
zbMATH DE Number: 2557659
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description: scientific article; zbMATH DE number 2557659