Proof of the ergodic theorem.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Proof of the ergodic theorem.
zbMATH Open document ID: 57.1011.02
published in: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
review text: \{Joint review of JFM JFM 58.1270.04 and the article under review.\} Der ``Ergodensatz'' besagt, daß die Bahnkurve, welche der den jeweiligen Zustand eines klassisch-mechanischen Systems repräsentierende ``Phasenraum''-Punkt auf Grund der mechanischen Bewegungsgleichungen beschreibt, die Energiefläche gleichmäßig überall dicht ausfüllt -- d. h. daß für jede physikalische Größe das ``Mittel'' über die (unendliche) Bahnkurve (``Zeitmittel'') existiert und dem Mittel über die (meist endliche) Energiefläche (``mikrokanonisches Mittel'') gleich ist. Natürlich nur, wenn die Energie das einzige (eindeutige) Integral der Bewegungsgleichungen ist, und nur ``im allgemeinen'', d. h. bis auf eine in einem noch zu präzisierenden Sinne unwesentliche Menge von Ausnahme-Bahnkurven. Diese rein mathematische Vermutung hat sonderbarerweise vierzig Jahre lang die Rolle einer physikalischen Hypothese gespielt, nachdem Boltzmann, Maxwell, H. Poincaré und \textit{P. Ehrenfest} und \textit{T. Ehrenfest} ihre grundlegende Bedeutung für die Begründung der gesamten statistischen Mechanik erkannt haben. (Vgl. 1912; JFM 43.0763.01); in der dort besprochenen Arbeit findet sich auch das ganze ältere Schrifttum über den Gegenstand.) Vor kurzem hat \textit{B. O. Koopman} [Proc. Natl. Acad. Sci. USA 17, 315--318 (1931)] eine operatorentheoretische Methode zur Untersuchung dynamischer Probleme entdeckt (vgl. das vorangehende Referat JFM 57.1010.02), mit deren Hilfe \textit{J. von Neumann} den ``Ergodensatz'' im Sinne der ``Mittelkonvergenz'' der als Bahnkurven-Funktionen angesehenen Zeitmittel zum mikrokanonischen Mittel bewiesen hat [``Proof of the quasi-ergodic hypothesis'', Proc. Natl. Acad. Sci. USA 18, 70--82 (1932; JFM 58.1271.03)], was der wahrscheinlichkeitstheoretisch-physikalischen Fragestellung genau entspricht. Unabhängig ist \textit{T. Carleman} zu denselben Resultaten gelangt [Acta Math. 59, 63--87 (1932; JFM 58.0417.01); Ark. Mat. B 22, No. 7, 5 p. (1932; JFM 58.0419.01)]. Durch die vo…
reviewed by: John von Neumann
Mathematics Subject Classification ID: 37Axx
zbMATH DE Number: 2558881
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: pnas.17.12.656
OpenAlex ID: W4243509751
DOI: 10.1073/PNAS.17.12.656
author: George David Birkhoff
description: scientific article; zbMATH DE number 2558881