The packing of certain sets of cubes.
Verf. behandelt folgendes Problem: Es sei im \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum ein rechtwinklig gleichseitiges Koordinatensystem \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) zugrunde gelegt. Es werden insbesondere die Gitterpunkte dieses Raumes (für ganzzahlige Werte der Koordinaten \(X_\nu \)) und die eine Raumzerlegung liefernden kongruenten, achsenparallel orientierten Würfel mit der Kantenlänge l betrachtet, deren Mittelpunkte jene Gitterpunkte sind. Verf. beschäftigt sich nun mit einer Würfelgesamtheit, die folgendermaßen definiert ist: Es sei \(\varepsilon _i=\pm 1\) für \(r\) (\(\leqq n\)) Werte von \(i\) (\(1\leqq i\leqq n\)), und es sei \(\varepsilon _i= 0\) für die \(n - r\) restlichen Werte von \(i\). Dann ist \(X_1+\varepsilon _1, X_2+\varepsilon _2,\ldots,X_n+\varepsilon _n\) der Mittelpunkt eines Würfels \(W'\), welcher an den Würfel \(W\) mit dem Mittelpunkt \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) stößt. Die genannte Gesamtheit wird von dem Würfel \(W\) und allen Würfeln \(W'\) gebildet, die zu allen möglichen, den obigen Bedingungen genügenden Anordnungen der \(\varepsilon \) gehören (\(r\) ist dabei fest). Die Gesamtheit besteht aus \[ \frac {n!}{r!\,(n-r)!}\,2^r+1 \] Würfeln. Das Problem ist nun, ob man den \(n\)-dimensionalen Raum mit einer derart definierten Würfelgesamtheit lückenlos und schlicht ausfüllen kann. Diese Frage spielt im dreidimensionalen Raum eine Rolle bei der Theorie der festen Lösungen von Metallen. Verf. legt den Ansatz analytisch in völlig allgemeiner Weise zugrunde und führt die Lösung rechnerisch ebenfalls ganz allgemein bis zu dem weitest möglichen Punkte durch. Schließlich spezialisiert er das Ergebnis und findet auf diese Weise Sätze von folgender Art: Im dreidimensionalen Raum ist das Problem bei beliebigem \(r\) lösbar. Für \(r =1\) und beliebiges \(n\) ist das Problem immer lösbar. Für \(r = n\) und beliebiges \(n\) ist das Problem immer lösbar. Für \(r=3\) und \(n=4\) ist das Problem nicht lösbar. Wenn \(r\) ungerade und \[ 1<r\leqq \frac {1}{3}\, (2n-1) \] ist, ist das Problem unlösbar. Wenn \(r\) gerade und \[ 2<r\leqq \frac {2}{3}\, (n-1) \] ist, ist das Problem unlösbar. Ist \(r = 2\) und \(n\) beliebig, so muß \(n\) gewissen Bedingungen genügen, damit das Problem lösbar ist.
scientific article; zbMATH DE number 2557897