On the determination of plane curves by means of assigned singularities.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the determination of plane curves by means of assigned singularities.
zbMATH Open document ID: 57.0823.02
DOI: 10.1017/S0305004100009907
author: J. A. Todd
published in: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
review text: Den Hauptgegenstand der Arbeit bildet die Aufgabe, Voraussetzungen für die Irreduzibilität einer ebenen Kurve anzugeben, die vorgegebene Punkte mit vorgegebenen Vielfachheiten enthält. Unter gewissen, vom Verf. angegebenen hinreichenden Bedingungen, denen die Punkte und ihre Vielfachheiten genügen müssen, und welche z. B. ausschließen, daß die Summe der in drei kollinearen Punkten vorgeschriebenen Multiplizitäten die Ordnung der Kurve übertrifft, wird die Kurve entweder irreduzibel oder zerfällt in eine doppelt gezählte elliptische Kurve. Zum Beweise dieses Satzes führen einige, auch für sich genommen interessante, Hilfssätze. Der erste bezieht sich auf eine Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{Caporali} und lautet: Bilden die Punkte \(O_1\),\dots, \(O_\varrho\) den vollständigen Schnitt der irreduziblen Kurven \(f\) und \(g\), sind die Bedingungen, welche die mit der gleichen Vielfachheit genommenen Punkte Kurven von gleicher Ordnung wie \(g\) auferlegen, unabhängig, und hat die Mannigfaltigkeit dieser Kurven eine Dimension \(\varepsilon > 0\), so ist \(f\) rational. Der Hauptteil des zweiten Hilfsatzes bezieht sich auf reduzible adjungierte Systeme: Wenn das System \(\varSigma\) der kanonischen adjungierten Kurven einer irreduziblen Kurve \(\varGamma\) feste Bestandteile enthält und \(\varGamma\) nicht elliptisch ist, so sind alle festen Kurven einfach, rational und eindeutig durch die Basispunkte bestimmt, die für sie unabhängige Bedingungen darstellen. Sie besitzen keine freien Schnittpunkte miteinander oder mit dem variablen Teile des Systems \(\varSigma\). (Dieser Satz ist falsch. Vgl. \textit{P. Du Val}, Proceedings Cambridge 32 (1936), 378-379; F. d. M. 62. Auch die Richtigkeit des Hauptsatzes ist dadurch in Frage gestellt.) Sonderfall der elliptischen Kurven. Der dritte Hilfssatz behandelt die Frage nach der Irreduzibilität einer durch ihr adjungiertes System bestimmten Kurve.
zbMATH DE Number: 2558191
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s0305004100009907
OpenAlex ID: W2114531096
description: scientific article; zbMATH DE number 2558191