Über die simultanen diophantischen Approximationen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die simultanen diophantischen Approximationen.
zbMATH Open document ID: 57.1370.01
DOI: 10.1007/BF01174368
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/168285
review text: Aus den Ergebnissen dieser umfangreichen Arbeit seien nur zwei angegeben. Das erste ist ein mengentheoretisches, das zweite ein elementares. Bezeichnungen: Sei \(s\geqq1\), \(s\) ganz; \(\omega(x)\) sei für \(x \geqq1\) positiv, stetig und abnehmend; \(f (x)\) sei für \(x>0\) positiv, stetig und wachsend; \(\omega(x)\to 0\) für \(x\to\infty\), \(f(x)\to0\) für \(x\to 0\). Das System \((\theta_1,\dots,\theta_s)\) läßt die Approximation \(\omega (x)\) zu, wenn es zu jedem \(c >0\) ein System \(p_1,p_2,\dots, p_s,q\) mit \(q > c\) gibt, das den Ungleichungen \[ \left|\theta_i-\frac{p_i}q\right|<\omega(q) \] genügt. Frage: Sei mit \(M(\omega(x);s)\) die Menge derjenigen Systeme \((\theta_1,\dots,\theta_s)\) mit \(0\leqq\theta_i<1\;(i=1,\dots, s)\) bezeichnet, die die Approximation \(\omega (x)\) zulassen. \(A\) sei eine Punktmenge im \(R_s\), \(L (A)\) das äußere \textit{Lebesgue}sche Maß von \(A\), wie groß ist dann \(L \big(M (\omega (x) ; s)\big)\)? \textit{Khintchine}s Antwort darauf (M. Z. 24 (1926), 706-714; F. d. M. 52, 183 (JFM 52.0183.*)) ist nicht voll befriedigend, z. B. \(s = 2\), \(\omega (x) = x^{-\alpha}\), \(\alpha>\dfrac32\). Es wird daher mit einem Maßbegriff, ähnlich einem von \textit{F. Hausdorff} eingeführten (1918; F. d. M. 46, 292 (JFM 46.0292.*)), gearbeitet: Es sei \(R_s\) ein \(s\)-dimensionaler kartesischer Raum; die Kanten \(d_1,d_2,\dots\) der Würfel \(W_1\), \(W_2,\dots\) seien sämtlich zu den Koordinatenachsen parallel und kleiner als \(\varrho > 0\); die Würfel \(W_1\), \(W_2,\dots\) bilden das System \(\mathfrak S\). \(\mathfrak S\) sei ein Überdeckungssystem von \(A\). Es werde \(\varLambda (\mathfrak S) =\sum\limits_if(d_i)\) gesetzt. Die untere Grenze von \(\varLambda(\mathfrak S)\) für alle höchstens abzählbaren Systeme \(\mathfrak S\) sei \(L_\varrho(A;f(x))\). Schließlich sei der Grenzwert von \(L_\varrho(A;f(x))\) für \(\varrho\to0\) mit \(L (A; f (x))\) bezeichnet. Bedeutet noch \(M_e (\omega(x); s)\) die Menge der eigentlichen r…
zbMATH DE Number: 2560842
author: Vojtěch Jarník
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2560842