Recherches sur la répartition des valeurs d'une fonction méromorphe.
Der erste Teil der Arbeit gibt eine Theorie der Normalscharen analytischer Funktionen unter ausführlicher Benutzung der \textit{Kugelableitung} = Quotient der sphärischen Linienelemente in \(w=f(z)\) und \(z\) \[ \mathcal{D} f(z)=|f'(z)|\frac {1+|z|^2}{1+|f(z)|^2}. \] Durch ihre Invarianz gegen Stürzungen (\(1/u\) statt \(u\)) erlaubt die Kugelableitung, die Sonderstellung des Unendlichen bei der Differentiation zu beseitigen und führt so zu einer erheblichen Vereinfachung der ganzen Theorie -- z. B. ist \textit{notwendig und hinreichend, damit eine Schar} \(\{f(z)\}\) \textit{in einem Gebiet} \(G\) \textit{normal sei, daß ihre Kugelableitungen} \(\{Df(z)\}\) \textit{auf jedem abgeschlossenen Teilbereich} \(B\subset G\) \textit{gleichmäßig beschränkt bleiben}. Eine lange Reihe von Sätzen über normale und quasinormale Scharen kann gegeben werden, u. a. besonders für \(p\)-wertige Funktionen. Nennen wir nur als ein Beispiel die schöne Aussage: Eine meromorphe Funktion in \(|z| < \infty\) ist dann und nur dann \textit{Juliasche Ausnahmefunktion}, wenn ihre Kugelableitung \(O(r)\) bleibt. Der zweite und dritte Teil der Arbeit behandeln erst die Einteilung abgeschlossener Meromorphiebereiche einer gegebenen Funktion in \textit{Zellen} derart, daß \(f(z)\) dort 1) einwertig und 2) die Wertvorräte in zwei Zellen entweder identisch oder fremd sind. Nach Vorbereitungen über reguläre, im kleinen schlicht abbildende Funktionen ist eine Ausdehnung auf meromorphe und unschlicht abbildende Funktionen möglich. Die Zellteilung ist im wesentlichen eindeutig bestimmt. Anschließend werden diese Ergebnisse dazu benutzt, das ganze Existenzgebiet einer eindeutigen Funktion in Fundamentalbereiche aufzuteilen, die sich aus den Zellen einfach zusammensetzen lassen. Das Hauptthema ist dann die Untersuchung der Gesamtheiten von Funktionen (es handelt sich aber im allgemeinen Falle nicht um Gruppen schlechthin, obwohl der Ausdruck gebraucht wird) welche -- kurz gesagt -- zwei Fundamentalbereiche aufeinander abbilden. Aus gewissen Voraussetzungen über solche Funktionen kann eine nähere Kennzeichnung der meromorphen Funktionen gewonnen werden, die zu jenen Fundamentalbereichen Anlaß geben.
scientific article; zbMATH DE number 2561064