Uniqueness for the linear Cauchy problems of first order
type: Item
instance of: scholarly article
title: Uniqueness for the linear Cauchy problems of first order
zbMATH Open document ID: 0625.35009
author: Xavier Saint Raymond
published in: L'Enseignement Mathématique. 2e Série
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
review text: Il s'agit d'un très intéressant article d'exposition sur l'unicité du problème de Cauchy (P.C.) pour les equations linéaires du premier ordre. Soit (*) \(L=\sum^{n}_{j=1}a_ j(x)\partial /\partial x_ j\) et (**) \(Lu+\underset {.} c u =f\) avec \(a_ j\) et \(c_ 0\in C^{\infty}({\mathbb{R}}^ n)\), \({\mathcal L}\) l'algèbre de Lie associé au champ de vecteurs (*) (on suppose que \(\sum | a_ j(x_ 0)|^ 2\neq 0\) pour un certain \(x_ 0\), fixé dorénavant). On s'intéresse au P.C. non caractéristique autour de \(x_ 0\), les donnés de Cauchy étant définies sur la surface \(\phi (x)=\phi (x_ 0)\), ou \(\phi \in C^{\infty}({\mathbb R}^ n)\). Les solutions considérées sont de classe \(C^ 1\). L'A montre d'abord que si sur \(S_ 3=\{x\in {\mathbb R}^ n: \phi (x)=\phi (x_ 0),\,\text{rang}\,\mathcal L(x)\geq 3\}\) \(\phi\) non caractéristique, \(x_ 0\in \bar S_ 3\), alors en général il n'y a pas d'unicité. (Th. 1.1) Si l'on impose que \(x_ 0\not\in \bar S_ 3\) et que localement autour de \(x_ 0\) le champ \(L\) vérifie l'une de deux conditions techniques: 1) (P) (condition de Nirenberg-Trèves), où 2) (R) condition affirmant que pour tout point voisin de \(x_ 0\) passe une variété intégrale de \({\mathcal L}\) alors il y a unicité (Th. 1.2). Ces deux résultats généralisant légèrement (dans le cas d'ordre 1) des résultats de \textit{S. Alinhac} [Ann. Math. (2) 117, 77--108 (1983; Zbl 0516.35018)], \textit{L. Robbiano} [Thèse 3me cycle, Orsay (1983)], respectivement de \textit{M. J. Strauss} et \textit{F. Trèves} [J. Differ. Equations 15, 195--209 (1974; Zbl 0256.35011)]. Le Th. 1.2 est précis, par ex. si la condition (R) est verifiée seulement dans \({\mathring \Omega}_+=\{x\in \Omega\); \(\phi (x)>\phi (x_ 0)\}\), \(\Omega\) étant un voisinage, de \(x_ 0\), le th. 1.2 est faux (la condition (R) doit être verifiée dans \(\Omega\) tout entier). La démonstration (en fait la construction d'une fonction \(u\) niant l'unicité du P.C.) est classique (v. par exemple Alinhac loc.cit.), élém…
reviewed by: Gheorghe Gussi
Mathematics Subject Classification ID: 35F10
Mathematics Subject Classification ID: 35A02
zbMATH DE Number: 4015254
zbMATH Keywords: Cauchy problem
zbMATH Keywords: operators of first order
zbMATH Keywords: non-characteristic
zbMATH Keywords: Lie algebra of vector fields
zbMATH Keywords: non-uniqueness
zbMATH Keywords: uniqueness
MaRDI profile type: Publication
DOI: 10.5169/SEALS-55077
description: scientific article; zbMATH DE number 4015254