Sylow-like theorems in geometry and algebra
Eine Loop (L,*,1) mit Gleichheit von Rechts- und Linksinversem \((x*x^{- 1}=1=x^{-1}*x)\) wird dadurch zu einer Kongruenz-Loop, daß jedem \(x\in L\) ein ``Betrag'' \(| x| \in \{x^{-1}\), \(x\}\) zugeordnet wird, wobei \(| x^{-1}| =| x|\), \(| x*y| =| y^{-1}*x^{-1}|\) gelten soll. Ein Paar aus einer Menge L und einer Äquivalenzrelation \(\equiv\) in \(L^ 2\) \((=\{xy|\) x,y\(\in L\})\) wird Kongruenzraum genannt, wenn: ab\(\equiv ba\); aa\(\equiv bc\Leftrightarrow\) \(b=c\); ab\(\equiv a'b'\Rightarrow| \{x|\) \(ax\equiv ab\}| =| \{x'|\) a'x'\(\equiv a'b'\}|\) (\(| M|\) bezeichnet hier die Kardinalzahl von M). Mit ab\(\equiv cd\Leftrightarrow| a*b^{-1}| =| c*d^{-1}|\) wird aus jeder Kongruenz-Loop ein Kongruenzraum, und man kann umgekehrt zu jedem Kongruenzraum eine Kongruenz-Loop angeben, die zu ihm in dieser Beziehung steht. Für endliche Kongruenzräume und damit für die zu ihnen gehörenden Kongruenz-Loops werden Analoga der Sätze von Lagrange und Sylow hergeleitet, wobei zusätzlich die Isogonalität bzw. die (stärkere) Isotoxalität vorausgesetzt wird; (L,\(\equiv)\) heißt isogonal, wenn die Gruppe I(L) der die Klassen von \(\equiv\) invariant lassenden Abbildungen von L in sich transitiv auf L wirkt, und isotoxal, wenn es zu a,b,c,d\(\in L\) mit ab\(\equiv cd\) stets \(\sigma\in I(L)\) mit \(\sigma \{a,b\}=\{c,d\}\) gibt.
scientific article; zbMATH DE number 4017750