Sylow-like theorems in geometry and algebra
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sylow-like theorems in geometry and algebra
zbMATH Open document ID: 0626.51010
DOI: 10.1007/BF01223258
author: Thomas Q. Sibley
published in: Journal of Geometry
publication date: 1987-01-01T00:00:00Z
review text: Eine Loop (L,*,1) mit Gleichheit von Rechts- und Linksinversem \((x*x^{- 1}=1=x^{-1}*x)\) wird dadurch zu einer Kongruenz-Loop, daß jedem \(x\in L\) ein ``Betrag'' \(| x| \in \{x^{-1}\), \(x\}\) zugeordnet wird, wobei \(| x^{-1}| =| x|\), \(| x*y| =| y^{-1}*x^{-1}|\) gelten soll. Ein Paar aus einer Menge L und einer Äquivalenzrelation \(\equiv\) in \(L^ 2\) \((=\{xy|\) x,y\(\in L\})\) wird Kongruenzraum genannt, wenn: ab\(\equiv ba\); aa\(\equiv bc\Leftrightarrow\) \(b=c\); ab\(\equiv a'b'\Rightarrow| \{x|\) \(ax\equiv ab\}| =| \{x'|\) a'x'\(\equiv a'b'\}|\) (\(| M|\) bezeichnet hier die Kardinalzahl von M). Mit ab\(\equiv cd\Leftrightarrow| a*b^{-1}| =| c*d^{-1}|\) wird aus jeder Kongruenz-Loop ein Kongruenzraum, und man kann umgekehrt zu jedem Kongruenzraum eine Kongruenz-Loop angeben, die zu ihm in dieser Beziehung steht. Für endliche Kongruenzräume und damit für die zu ihnen gehörenden Kongruenz-Loops werden Analoga der Sätze von Lagrange und Sylow hergeleitet, wobei zusätzlich die Isogonalität bzw. die (stärkere) Isotoxalität vorausgesetzt wird; (L,\(\equiv)\) heißt isogonal, wenn die Gruppe I(L) der die Klassen von \(\equiv\) invariant lassenden Abbildungen von L in sich transitiv auf L wirkt, und isotoxal, wenn es zu a,b,c,d\(\in L\) mit ab\(\equiv cd\) stets \(\sigma\in I(L)\) mit \(\sigma \{a,b\}=\{c,d\}\) gibt.
Mathematics Subject Classification ID: 51F20
Mathematics Subject Classification ID: 20N05
zbMATH DE Number: 4017750
zbMATH Keywords: congruence loops
zbMATH Keywords: congruence space
zbMATH Keywords: isogonality
zbMATH Keywords: isotoxality
MaRDI profile type: Publication
cites work: Constructions of point-colour-symmetric graphs
cites work: Q3877713
cites work: On the relation of congruence in finite geometries
description: scientific article; zbMATH DE number 4017750