On rings admitting orderings and 2-primary chains of orderings of higher level
Es sei K ein kommutativer Körper. \(P\subset K\) heißt n-Ordnung, wenn \(P+P\subset P\), \(P\cdot P\subset P\), \(K^{2n}\subset P\), -1\(\not\in P\) gilt und \(K^{\times}/P^{\times}\) zyklisch ist. Weiter heißt \((P_ i)_{i\geq 0}\) eine (2-primäre) Kette, wenn \(P_ 0\), \(P_ 1\) erschiedene 1-Ordnungen sind, enn \(]K^{\times}:P_ i^{\times}]=2^ i\) für \(i\geq 2\) gilt und wenn \(P_ i\cup -P_ i=(p_{i-1}\cap P_ 0)\cup -(P_{i-1}\cap P_ 0)\) für \(i\geq 1\) erfüllt ist. Schließlich heißt eine solche Kette eine \(\alpha\)-Kette (\(\alpha\in K)\), wenn \(\alpha^ 2\not\in P_ 2\) gilt. Über die Existenz derartiger Ordnungen und Ketten werden Kriterien bewiesen. Anschließend werden diese Begriffe auf kommutative Ringe A mit Einselement erweitert. P\(\subset A\) wird n-Ordnung genannt, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (1) \(P+P\subset P\), \(P\cdot P\subset P\), \(A^{2n}\subset P\). (2) \({\mathfrak p}=P\cap -P\) ist ein Primideal von A. (3) Aus \(xy^{2n}\in P\) folgt \(x\in P\) oder \(y\in {\mathfrak p}\). (4) \(\bar P=\{\sum a_ i^{2n}\bar p:\) \(a_ i\in k({\mathfrak p})\), \(p\in P\}\) ist eine n-Ordnung des Quotientenkörpers k(\({\mathfrak p})\) von A/\({\mathfrak p}\). Entsprechend werden die Begriffe Kette und \(\alpha\)-Kette übertragen. Es werden die Erzeugung von Ordnungen, Erweiterungen und Restriktionen von Ketten und idealtheoretische Fragestellungen behandelt; insbesondere werden geeignete Radikalbegriffe diskutiert. Im letzten Abschnitt der Arbeit wird ein Nullstellensatz für \(\alpha\)- Ketten-abgeschlossene Körper K bewiesen, die durch die Existens Henselscher Bewertungen mit reell-abgeschlossenem Restklassenkörper gekennzeichnet werden können. Ist \({\mathfrak a}\) ein Ideal in K[X] mit \(X=(X_ 1,...,X_ n)\), so sei \(V_ K({\mathfrak a})=\{x:\) \(x\in K^ n\) und \(f(x)=0\) für alle \(f\in {\mathfrak a}\}\) und für \(W\subset K^ n\) weiter \(I_ K(W)=\{f\) \(f\in K[X]\) und \(f(x)=0\) für alle \(a\in W\}\). Bewiesen wird: Besitzt K nur genau eine Henselsche Bewertung der vorher erwähnten Art, dann gilt für jedes Ideal \({\mathfrak a}\) von K[X], daß \(I_ K(V_ K({\mathfrak a}))\) das \(\alpha\)-Radikal von \({\mathfrak a}\) ist, das aus denjenigen \(f\in K[X]\) besteht, für die \((\alpha f)^{4k}+\Sigma g^ 4_ i-\alpha^ 2\Sigma h^ 4_ j\in {\mathfrak a}\) mit einem \(k\in {\mathbb{N}}\) und geeigneten \(g_ i,h_ j\in K[X]\) gilt. Gezeigt wird außerdem, daß im Fall \(n\geq 2\) bei Existenz mehrerer Henselscher Bewertungen mit reell-abgeschlossenem Restklassenkörper \(I_ K(V_ K({\mathfrak a}))\varsupsetneq Rad_{\alpha}({\mathfrak a})\) erfüllt ist.
scientific article; zbMATH DE number 4128947
scientific article