On rings admitting orderings and 2-primary chains of orderings of higher level
type: Item
instance of: scholarly article
title: On rings admitting orderings and 2-primary chains of orderings of higher level
zbMATH Open document ID: 0689.12016
DOI: 10.1007/BF01168367
author: Eberhard Becker
author: Danielle Gondard
published in: Manuscripta Mathematica
publication date: 1989-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/155426
review text: Es sei K ein kommutativer Körper. \(P\subset K\) heißt n-Ordnung, wenn \(P+P\subset P\), \(P\cdot P\subset P\), \(K^{2n}\subset P\), -1\(\not\in P\) gilt und \(K^{\times}/P^{\times}\) zyklisch ist. Weiter heißt \((P_ i)_{i\geq 0}\) eine (2-primäre) Kette, wenn \(P_ 0\), \(P_ 1\) erschiedene 1-Ordnungen sind, enn \(]K^{\times}:P_ i^{\times}]=2^ i\) für \(i\geq 2\) gilt und wenn \(P_ i\cup -P_ i=(p_{i-1}\cap P_ 0)\cup -(P_{i-1}\cap P_ 0)\) für \(i\geq 1\) erfüllt ist. Schließlich heißt eine solche Kette eine \(\alpha\)-Kette (\(\alpha\in K)\), wenn \(\alpha^ 2\not\in P_ 2\) gilt. Über die Existenz derartiger Ordnungen und Ketten werden Kriterien bewiesen. Anschließend werden diese Begriffe auf kommutative Ringe A mit Einselement erweitert. P\(\subset A\) wird n-Ordnung genannt, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (1) \(P+P\subset P\), \(P\cdot P\subset P\), \(A^{2n}\subset P\). (2) \({\mathfrak p}=P\cap -P\) ist ein Primideal von A. (3) Aus \(xy^{2n}\in P\) folgt \(x\in P\) oder \(y\in {\mathfrak p}\). (4) \(\bar P=\{\sum a_ i^{2n}\bar p:\) \(a_ i\in k({\mathfrak p})\), \(p\in P\}\) ist eine n-Ordnung des Quotientenkörpers k(\({\mathfrak p})\) von A/\({\mathfrak p}\). Entsprechend werden die Begriffe Kette und \(\alpha\)-Kette übertragen. Es werden die Erzeugung von Ordnungen, Erweiterungen und Restriktionen von Ketten und idealtheoretische Fragestellungen behandelt; insbesondere werden geeignete Radikalbegriffe diskutiert. Im letzten Abschnitt der Arbeit wird ein Nullstellensatz für \(\alpha\)- Ketten-abgeschlossene Körper K bewiesen, die durch die Existens Henselscher Bewertungen mit reell-abgeschlossenem Restklassenkörper gekennzeichnet werden können. Ist \({\mathfrak a}\) ein Ideal in K[X] mit \(X=(X_ 1,...,X_ n)\), so sei \(V_ K({\mathfrak a})=\{x:\) \(x\in K^ n\) und \(f(x)=0\) für alle \(f\in {\mathfrak a}\}\) und für \(W\subset K^ n\) weiter \(I_ K(W)=\{f\) \(f\in K[X]\) und \(f(x)=0\) für alle \(a\in W\}\). Bewiesen wird: Besitzt K nur genau eine Henselsc…
Mathematics Subject Classification ID: 12J15
Mathematics Subject Classification ID: 12D15
Mathematics Subject Classification ID: 13J25
Mathematics Subject Classification ID: 14Pxx
zbMATH DE Number: 4128947
zbMATH Keywords: 2-primary chains
zbMATH Keywords: orderings of higher level
zbMATH Keywords: Henselian valuation
zbMATH Keywords: rings with orderings
zbMATH Keywords: Nullstellensatz
reviewed by: Hans-Joachim Kowalsky
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q4748231
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OpenAlex ID: W1981629422
description: scientific article; zbMATH DE number 4128947