Polygons and Hilbert modular groups
\(\Gamma\) sei die Hilbertsche Modulgruppe eines reellquadratischen Zahlkörpers \(K={\mathbb{Q}}(\sqrt{d})\) mit der Hauptordnung \({\mathcal O}\), die auf dem Produkt \(H\times H\) zweier oberer Halbebenen operiert. Die Überlagerungsfläche \(H\times H\) von \(H\times H/\Gamma\) wird durch die Bilder eines Fundamentalbereichs F von \(\Gamma\) parkettiert. Ein klassisches Verfahren von Poincaré in der Theorie der Modulgruppen einer Variablen nutzt einen derartigen Sachverhalt aus, um eine Präsentation der Gruppe durch Erzeugende und Relationen zu bestimmen. \textit{F. Hirzebruch} [Usp. Mat. Nauk 31, No.5, 153-166 (1976; Zbl 0335.14007)] hat nun durch Vergleich mit der kubischen Diagonalfläche von Clebsch und Klein gezeigt, daß für \(d=5\) ein birationaler Zusammenhang zwischen dem kompaktifizierten Quotientenraum \(\overline{H\times H/\Gamma (2)}\) und dem projektiven Raum \(P_ 2({\mathbb{C}})\) besteht, bei dem die Operation von \(\Gamma\) /\(\Gamma\) (2)\(\cong {\mathfrak A}_ 5\) auf \(H\times H/\Gamma (2)\) einer kanonischen Operation der \({\mathfrak A}_ 5\) auf dem \(P_ 2({\mathbb{C}})\) entspricht. Das haben zwei der Verf., Kobayashi und Naruki, kürzlich ausgenutzt, um eine Präsentation der PSL(2,\({\mathcal O})\) für \(d=5\) zu gewinnen, indem sie in den \(P_ 2({\mathbb{C}})\) überwechselten und dort die Fundamentalgruppe von \(P_ 2({\mathbb{C}})\) minus einer invarianten Konfiguration von 15 Geraden berechneten (diese als Preprint zitierte Arbeit ist inzwischen erschienen [Automorphic forms and geometry of arithmetic varieties, Adv. Stud. Pure Math. 15, 365-372 (1989)]). \textit{F. Hirzebruch} hat 1976 für \(d=5\) und \(\Gamma\) (\(\sqrt{5})\) sowie für \(d=2\) und \(\Gamma\) (2) entsprechende Verbindungen zu \(P_ 2({\mathbb{C}})\) nachgewiesen [Lect. Notes Math. 627, 287-323 (1977; Zbl 0369.10017)]. Verf. nutzen dies entsprechend ihrer früheren Vorgehensweise aus und zeigen jetzt, daß die symmetrischen Modulgruppen \(<PSL(2,{\mathcal O}),\tau >\) (mit der Variablenvertauschung \(\tau\) in \(H\times H)\) für \(d=2,5\) Spiegelungsgruppen sind, deren Darstellung durch 5 bzw. 6 Erzeugende und ein (endliches) System definierender Relationen sie angeben. In diesem Zusammenhang sei an eine Arbeit von \textit{F. Kirchheimer} und \textit{J. Wolfart} erinnert [J. Reine Angew. Math. 315, 139-173 (1980; Zbl 0423.20044)], in der Präsentationen von SL(2,\({\mathcal O})\) und PSL(2,\({\mathcal O})\) für \(d=2,3,5,13\) mit dem Poincaréschen Verfahren unmittelbar unter Benutzung eines Fundamentalbereichs F in \(H\times H\) bestimmt wurden.
scientific article; zbMATH DE number 4134144