Polygons and Hilbert modular groups
type: Item
instance of: scholarly article
title: Polygons and Hilbert modular groups
zbMATH Open document ID: 0693.10020
author: Ryoichi Kobayashi
author: Keiko Kushibiki
author: Isao Naruki
published in: Tôhoku Mathematical Journal. Second Series
publication date: 1989-01-01T00:00:00Z
review text: \(\Gamma\) sei die Hilbertsche Modulgruppe eines reellquadratischen Zahlkörpers \(K={\mathbb{Q}}(\sqrt{d})\) mit der Hauptordnung \({\mathcal O}\), die auf dem Produkt \(H\times H\) zweier oberer Halbebenen operiert. Die Überlagerungsfläche \(H\times H\) von \(H\times H/\Gamma\) wird durch die Bilder eines Fundamentalbereichs F von \(\Gamma\) parkettiert. Ein klassisches Verfahren von Poincaré in der Theorie der Modulgruppen einer Variablen nutzt einen derartigen Sachverhalt aus, um eine Präsentation der Gruppe durch Erzeugende und Relationen zu bestimmen. \textit{F. Hirzebruch} [Usp. Mat. Nauk 31, No.5, 153-166 (1976; Zbl 0335.14007)] hat nun durch Vergleich mit der kubischen Diagonalfläche von Clebsch und Klein gezeigt, daß für \(d=5\) ein birationaler Zusammenhang zwischen dem kompaktifizierten Quotientenraum \(\overline{H\times H/\Gamma (2)}\) und dem projektiven Raum \(P_ 2({\mathbb{C}})\) besteht, bei dem die Operation von \(\Gamma\) /\(\Gamma\) (2)\(\cong {\mathfrak A}_ 5\) auf \(H\times H/\Gamma (2)\) einer kanonischen Operation der \({\mathfrak A}_ 5\) auf dem \(P_ 2({\mathbb{C}})\) entspricht. Das haben zwei der Verf., Kobayashi und Naruki, kürzlich ausgenutzt, um eine Präsentation der PSL(2,\({\mathcal O})\) für \(d=5\) zu gewinnen, indem sie in den \(P_ 2({\mathbb{C}})\) überwechselten und dort die Fundamentalgruppe von \(P_ 2({\mathbb{C}})\) minus einer invarianten Konfiguration von 15 Geraden berechneten (diese als Preprint zitierte Arbeit ist inzwischen erschienen [Automorphic forms and geometry of arithmetic varieties, Adv. Stud. Pure Math. 15, 365-372 (1989)]). \textit{F. Hirzebruch} hat 1976 für \(d=5\) und \(\Gamma\) (\(\sqrt{5})\) sowie für \(d=2\) und \(\Gamma\) (2) entsprechende Verbindungen zu \(P_ 2({\mathbb{C}})\) nachgewiesen [Lect. Notes Math. 627, 287-323 (1977; Zbl 0369.10017)]. Verf. nutzen dies entsprechend ihrer früheren Vorgehensweise aus und zeigen jetzt, daß die symmetrischen Modulgruppen \(<PSL(2,{\mathcal O}),\tau >\) (mit der Va…
Mathematics Subject Classification ID: 11F06
Mathematics Subject Classification ID: 11F41
Mathematics Subject Classification ID: 20F05
Mathematics Subject Classification ID: 20H05
zbMATH DE Number: 4134144
zbMATH Keywords: generators
zbMATH Keywords: relations
zbMATH Keywords: reflection groups
zbMATH Keywords: Hilbert modular groups
zbMATH Keywords: icosahedral groups
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2748/tmj/1178227734
OpenAlex ID: W2014844439
cites work: Q4148051
cites work: Q3491663
DOI: 10.2748/TMJ/1178227734
description: scientific article; zbMATH DE number 4134144