The relativistic noncommutative nonassociative group of velocities and the Thomas rotation
type: Item
instance of: scholarly article
title: The relativistic noncommutative nonassociative group of velocities and the Thomas rotation
zbMATH Open document ID: 0693.20067
DOI: 10.1007/BF03322653
author: Abraham A. Ungar
published in: Results in Mathematics
publication date: 1989-01-01T00:00:00Z
review text: Die homogenen orthochronen Lorentztransformationen L haben eine treue Parameterdarstellung \(L=L(v,\rho)\) mit \(v\in {\mathbb{R}}^ 3_ c:=\{u\in {\mathbb{R}}^ 3|\) \(u^ 2_ 1+u^ 2_ 2+u^ 2_ 3<c^ 2\}\), c \(=\) Lichtgeschwindigkeit, und \(\rho \in SO_ 3({\mathbb{R}})\). Diese Darstellung läßt sich ausnützen um eine algebraische Verknüpfung * auf der Menge \({\mathbb{R}}^ 3_ c\) der zulässigen Geschwindigkeiten zu definieren: Nimmt man zwei Lorentztransformationen L(u,id), L(v,id) ohne Rotationsanteil (in der Physik: ``Boost'' genannt), so ergibt sich: \(L(u,id)\cdot L(v,id)=L(w,\delta)\) mit eindeutig bestimmtem \(w\in {\mathbb{R}}^ 3_ c\) und \(\delta \in SO_ 3({\mathbb{R}})\). \(\delta:=tom[u,v]\) ist die aus der speziellen Relativitätstheorie bekannte Thomas Rotation. Definiert man \(u*v=w\), so wird \(({\mathbb{R}}^ 3_ c,*)\) zu einer Loop, in der noch das folgende abgeschwächte Assoziativ- und Kommutativgesetz gilt: \[ a*(b*x)=(a*b)*tom[a,b](x),\quad a*b=tom[a,b](b*a). \] Es ist interessant zu notieren, daß diese Loop \(({\mathbb{R}}^ 3_ c,*)\) dieselben Axiome erfüllt, wie die additive Loop \((F,+)\) der Fastbereiche \((F,+,\cdot)\), die bei der Untersuchung scharf 2-fach transitiver Gruppen auftreten. Diese vom Autor entdeckte Loop-Struktur von \(({\mathbb{R}}^ 3_ c,\cdot)\) ermöglicht ein viel besseres Verständnis der Rollen, die die Boost und die Thomas-Rotationen in der Lorentzgruppe spielen. Außerdem kann man nun formal mit Boost und Thomas-Rotationen rechnen, ohne auf die Matrizendarstellungen zurückgehen zu müssen, wodurch die Rechnungen kürzer und übersichtlicher werden. In diesem Aufsatz erläutert der Autor seine Vorgehensweise und rechnet einige algebraische Relationen von Thomas-Rotationen aus.
Mathematics Subject Classification ID: 20N05
Mathematics Subject Classification ID: 83C40
Mathematics Subject Classification ID: 22E70
Mathematics Subject Classification ID: 20B22
Mathematics Subject Classification ID: 17A99
zbMATH DE Number: 4134351
zbMATH Keywords: Lorentz acceleration transformations
zbMATH Keywords: Thomas rotation
zbMATH Keywords: relativistically admissible velocities
zbMATH Keywords: noncommutative, nonassociative group
zbMATH Keywords: special relativity
zbMATH Keywords: weakly commutative
zbMATH Keywords: weakly associative
zbMATH Keywords: Loop
reviewed by: Heinrich Wefelscheid
MaRDI profile type: Publication
cites work: Special relativity with Clifford algebras and 2×2 matrices, and the exact product of two boosts
cites work: The maximal sub near-field of a near-domain
cites work: ZT-subgroups of sharply 3-transitive groups
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf03322653
OpenAlex ID: W1983801142
description: scientific article; zbMATH DE number 4134351