Sur l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré.
zbMATH Open document ID: 23.0319.01
published in: Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, Paris
publication date: 1891-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: bpt6k3068q.f761
review text: Die Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades wird nach dem Vorgange des Herrn Darboux auf die homogene Form \[ (1)\quad (yN-zM)dx+(zL-xN)dy+(xM-yL)dz=0 \] gebracht, wo \(L,M,N\) ganze homogene Polynome in \(x,y,z\) vom Grade \(m\) bezeichnen; \(m\) heist die Dimension der Gleichung. Wenn das Integral algebraisch ist, so hat sie die Form \(f+C\varphi=0\), wo \(C\) eine willkürliche Constante und \(f\) und \(\varphi\) homogene Polynome von der Ordnung \(p\) in \(x,y,z\) sind. Es wird vorausgesetzt, dass diese Form die einfachste ist; es ist dann die Zahl der ``merkwürdigen'' Werte von \(C\), d. h. derjenigen, für die \(f+C\varphi\) reductibel wird, endlich. Die singulären Punkte der Gleichung (1) sind durch die Gleichungen \[ \frac Lx=\frac My=\frac Nz \] gegeben; ihre Zahl ist \(m^2+m+1\). Sie werden alle verschieden vorausgesetzt. In der Umgebung eines singulären Punktes \(x_0,y_0,z_0\) kann das Integral auf die Form \[ X_1^{-S_1}X_2^{S_2}=\text{const}. \] gebracht werden, wo \(X_1,X_2\) Reihen sind, geordnet nach wachsenden Potenzen von \(\frac{x}{x_0}-\frac{z}{z_0},\frac{y}{y_0}-\frac{z}{z_0}\). Diese Form ist eine notwendige Bedingung dafür, dass die Gleichung (1) algebraisch integrirbar sei; ferner muss für alle singulären Punkte ihr ``Exponent'' \(S_1:S_2\) reell und commensurabel sein. Die Punkte, für welche dieser Exponent positiv ist, heissen ``noeuds''; die, für welche er negativ ist, ``cols''. Wenn für gewisse Punkte der Exponent 1 ist, dann hat das Integral im allgemeinen die Form \[ \frac{X_1}{X_2}+A\log X_1=\text{const}. \] Soll es algebraisch sein, so muss \(A=0\) sein; der Punkt heisst dann ``dicritique''. Sind alle singulären Punkte letzterer Art, und hat in einem solchen Punkte \(f+C\varphi=0\;\lambda\) verschiedene Zweige, so gelten die Formeln \[ p^2=\varSigma\lambda^2,\quad (m+2)p=2\varSigma\lambda, \] wo die Summationen sich über alle singulären Punkte erstrecken. Für das Geschlecht \(q\) der Integralcurve findet man \[ q=\tfrac 14…
Mathematics Subject Classification ID: 34C05
zbMATH DE Number: 2687402
MaRDI profile type: Publication
author: Henri Poincaré
description: scientific article; zbMATH DE number 2687402