An inequality.
type: Item
instance of: scholarly article
title: An inequality.
zbMATH Open document ID: 61.0207.01
DOI: 10.1007/BF01218837
author: G. H. Hardy
author: J. E. Littlewood
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1935-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/168587
review text: In ihrer reichhaltigen Arbeit aus dem Jahre 1927 (Journ. f. Math. 157 (1927), 141-158 ; F. d. M. 53, 193 (JFM 53.0193.*)) haben die Verf. als Verallgemeinerung mehrerer dort bewiesener Sätze als Satz 25 ohne Beweis eine sehr allgemeine Ungleichung aufgestellt. In der vorliegenden Arbeit handelt es sich um die lückenlos vollständige Diskussion dieser Ungleichung. Es seien \((a_n)\) und \((b_n)\) Folgen nicht negativer Zahlen, \(a_0 = b_0 = 0\) und \[ c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0 \qquad (n = 0, 1, 2, \dots). \] Es seien ferner \(\alpha\), \(\beta\) reell, \(\gamma = \alpha + \beta - 1\), \(q \geqq p > 0\), \(r > 0\). Wenn dann \(A\), \(B\), \(C\) durch \[ A^p = \sum_{n=1}^\infty n^{-1} (n^\alpha a_n)^p, \quad B^q = \sum_{n=1}^\infty n^{-1} (n^\beta b_n)^q, \quad C^r = \sum_{n=1}^\infty n^{-1} (n^\gamma c_n)^r \] definiert werden, so handelt es sich um die Frage, unter welchen Bedingungen für die Parameter \(\alpha\), \(\beta\), \(p\), \(q\), \(r\) es eine nur von diesen abhängige Konstante \(K\) gibt, so daß für alle zugelassenen \((a_n)\), \((b_n)\) \[ C \leqq KAB \tag{1} \] ausfällt. Für \(p\), \(q\), \(r\) wird auch der Wert \(\infty\) zugelassen; für \(p = \infty\) ist \(A =\) Max \((n^\alpha a_n)\) zu setzen und entsprechend für \(q\) und \(r\). Bei der folgenden Formulierung des Hauptsatzes werden die \textit{gewöhnlichen} Fälle, bei denen \[ p \neq 1, \quad q \neq 1, \quad p \neq \infty, \quad q \neq \infty, \quad r \neq \infty \] ist, von den andern als den \textit{außergewöhnlichen} unterschieden. Ein außergewöhnlicher Fall wird \textit{normal} genannt, wenn sein Ergebnis und sein Beweis dadurch aus dem gewöhnlichen Fall hervorgehen, daß für \(p\), \(q\), \(r\) einfach die Ausnahmewerte eingesetzt werden; andernfalls heißt er \textit{anomal}. Weiter soll ein System \(S\) von Bedingungen für die Parameter \textit{notwendig und hinreichend} heißen, falls (1) unter seiner Gültigkeit für alle zugelassenen \((a_n)\), \((b_n)\) richtig ist, aber n…
zbMATH DE Number: 2531776
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W4246734016
description: scientific article; zbMATH DE number 2531776