An inequality.
In ihrer reichhaltigen Arbeit aus dem Jahre 1927 (Journ. f. Math. 157 (1927), 141-158 ; F. d. M. 53, 193 (JFM 53.0193.*)) haben die Verf. als Verallgemeinerung mehrerer dort bewiesener Sätze als Satz 25 ohne Beweis eine sehr allgemeine Ungleichung aufgestellt. In der vorliegenden Arbeit handelt es sich um die lückenlos vollständige Diskussion dieser Ungleichung. Es seien \((a_n)\) und \((b_n)\) Folgen nicht negativer Zahlen, \(a_0 = b_0 = 0\) und \[ c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0 \qquad (n = 0, 1, 2, \dots). \] Es seien ferner \(\alpha\), \(\beta\) reell, \(\gamma = \alpha + \beta - 1\), \(q \geqq p > 0\), \(r > 0\). Wenn dann \(A\), \(B\), \(C\) durch \[ A^p = \sum_{n=1}^\infty n^{-1} (n^\alpha a_n)^p, \quad B^q = \sum_{n=1}^\infty n^{-1} (n^\beta b_n)^q, \quad C^r = \sum_{n=1}^\infty n^{-1} (n^\gamma c_n)^r \] definiert werden, so handelt es sich um die Frage, unter welchen Bedingungen für die Parameter \(\alpha\), \(\beta\), \(p\), \(q\), \(r\) es eine nur von diesen abhängige Konstante \(K\) gibt, so daß für alle zugelassenen \((a_n)\), \((b_n)\) \[ C \leqq KAB \tag{1} \] ausfällt. Für \(p\), \(q\), \(r\) wird auch der Wert \(\infty\) zugelassen; für \(p = \infty\) ist \(A =\) Max \((n^\alpha a_n)\) zu setzen und entsprechend für \(q\) und \(r\). Bei der folgenden Formulierung des Hauptsatzes werden die \textit{gewöhnlichen} Fälle, bei denen \[ p \neq 1, \quad q \neq 1, \quad p \neq \infty, \quad q \neq \infty, \quad r \neq \infty \] ist, von den andern als den \textit{außergewöhnlichen} unterschieden. Ein außergewöhnlicher Fall wird \textit{normal} genannt, wenn sein Ergebnis und sein Beweis dadurch aus dem gewöhnlichen Fall hervorgehen, daß für \(p\), \(q\), \(r\) einfach die Ausnahmewerte eingesetzt werden; andernfalls heißt er \textit{anomal}. Weiter soll ein System \(S\) von Bedingungen für die Parameter \textit{notwendig und hinreichend} heißen, falls (1) unter seiner Gültigkeit für alle zugelassenen \((a_n)\), \((b_n)\) richtig ist, aber nicht für alle diese \((a_n)\), \((b_n)\) richtig bleibt, wenn \(S\) nicht erfüllt ist. Schließlich wird gesetzt: \[ \frac 1p + \frac 1q = \frac1\pi, \quad 1 - \frac 1q + \frac 1r = \alpha_0, \quad 1 - \frac 1p + \frac 1r = \beta_0. \] Dann lautet der \textit{Hauptsatz}: 1. (Gewöhnliche und außergewöhnliche Fälle.) Für die Gültigkeit von (1) ist \(p \geqq 1\) \textit{notwendig}. 2. (Gewöhnliche Fälle.) Für die Gültigkeit von (1) in einem gewöhnlichen Falle ist \textit{notwendig und hinreichend}, daß (außer \(p \geqq 1\), also \(p > 1\)) die eine oder andere der folgenden vier Bedingungen erfüllt ist: \(\begin{matrix} \l & \qquad \l & \quad \l \\ \text{a) } \;\pi \leqq r \leqq p, & \alpha < 1, & \beta < 1; \\ \text{b) } \;p < r \leqq q, & \alpha < 1, & \beta \leqq \beta_0; \\ \text{c) } \;\pi \geqq 1, \;q < r, & \alpha \leqq \alpha_0, & \beta \leqq \beta_0; \\ \text{d) } \;\pi <1, \;q < r \leqq \dfrac{\pi}{1-\pi}, & \alpha \leqq \alpha_0, & \beta \leqq \beta_0. \end{matrix}\) 3. Der einzige Fall, in dem (1) bei \(p = \infty\) richtig bleibt, ist der Fall \(p = q = r =\infty\), \(\alpha < 1\), \(\beta < 1\); er ist normal. Im übrigen sind alle außergewöhnlichen Fälle normal bis auf die vier folgenden: a) \ \(p > 1\), \(\pi > 1\), \(r = \infty\); dann muß in 2c) \ \(\alpha < \alpha_0\), \(\beta < \beta_0\) gefordert werden. b) \ \(p = 1\), \(1 < r < q\); dann muß in 2b) \ \(\alpha < 1\), \(\beta < \beta_0\) gefordert werden. c) \ \(p = q = r = 1\), dann muß in 2a) \ \(\alpha \leqq 1\), \(\beta \leqq 1\) gefordert werden. d) \ \(p = 1\), \(1 < r =q\); dann muß in 2b) \ \(\alpha \leqq 1\), \(\beta \leqq \beta_0\) gefordert werden. Bei den Beweisen, für die zahlreiche Unterfälle unterschieden werden müssen (auch dann, wenn das Ergebnis einheitlich ist), werden die mannigfachsten Methoden -- z. T. recht schwierige -- verwendet. Der Hauptsatz enthält eine Fülle teils bekannter, teils neuer Ungleichungen als Sonderfälle. Im letzten Paragraphen werden einige von diesen hervorgehoben, unter denen auf eine weitgehende Verallgemeinerung des \textit{Hilbert}schen Doppelreihensatzes \[ \sum_{\mu, \nu} \frac{a_\mu b_\nu}{\mu+\nu} \leqq K \left(\sum_\mu a_\mu^2 \cdot \sum_\nu b_\nu^2\right)^{\frac 12} \] besonders hingewiesen sei. \ \ (IV 1.)
scientific article; zbMATH DE number 2531776