Pareto's law
Vom Ausgangspunkt des sogenannten ``80/20''-Gesetzes von Pareto -- 80\% aller Wirkungen basieren auf 20\% der Ursachen -- definiert M. Hardy die Pareto-Verteilung als stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, für die gilt: \[ F(x)= P(X\leq x)=\begin{cases} 1-({x_0\over x})^\alpha\quad &\text{für }x\geq x_0\\ 0\quad &\text{für }x< x_0\end{cases}\quad \alpha> 0;\;x_0> 0, \] in der z.B. die Zufallsvariable \(X\) das Einkommen einer zufällig ausgewählten Person darstellen könnte. Der Parameter \(\alpha\) wird als Pareto-Index bezeichnet. In diesem Artikel zeigt Hardy Resultate der obigen stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung auf, indem er die Aussagen in die Maßtheorie übersetzt. Er verallgemeinert Paretos ``80/20-Gesetz'' zu einem ``\((1- p)/p\)-Gesetz'', für \(p\in(0;{1\over 2}]\), d.h. für jede reelle Zahl \(n\geq 0\) existiert ein eindeutiges \(x> 0\), so dass \(P(X> x)= p^n\) und für diesen Wert gilt \({\int_{X> x} X\,dv\over \int_\Omega X\,dv}= (1- p)^n\). Daraus ergeben sich zwei Aussagen: \(\bullet\) gilt das ``verallgemeinerte 80/20-Gesetz'' mit bekanntem \(p\), dann ist \(X\) nach der Pareto-Verteilung mit dem Index \(\alpha= \log_{{p\over (1-p)}} p> 1\) verteilt; \(\bullet\) für den Pareto-Index \(1<\alpha\leq\infty\) erfüllt die Pareto-Verteilung das ``verallgemeinerte 80/20-Gesetz''. Für \(0<\alpha\leq 1\) hat die Pareto-Verteilung die Dichte \(f (x)= {\alpha x^\alpha_0\over x^{\alpha+1}}\), \( x> x_0\), und den Erwartungswert \(\int^\infty_{x_0} xf(x)\,dx= \infty\).
scientific article; zbMATH DE number 5820352
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