Algebraic independence.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Algebraic independence.
zbMATH Open document ID: 1217.11071
author: Yuri V. Nesterenko
published in: Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics. Tata Institute of Fundamental Research
publication date: 2011-01-21T00:00:00Z
review text: Fast jede systematische Darstellung der Theorie der transzendenten Zahlen enthält zumindest einen kleinen Exkurs über algebraische Unabhängigkeit (kurz: a.U.). Die einzige komplett diesem Unterthema gewidmete Monographie war bis jetzt das von 11 Autoren geschriebene Sammelwerk [Introduction to algebraic independence theory. Lecture Notes in Mathematics. 1752. Berlin: Springer (2001; Zbl 0966.11032)], an dem auch Verf. mitgearbeitet hat. Nun legt er eine kürzere, aber leichter zugängliche Einführung -- gewissermaßen `aus einer Hand' -- in denselben Themenkreis vor, die aus Vorlesungen (1997) am Tata-Institut entstanden ist. Die ersten beiden Kapitel befassen sich mit dem klassischen Satz von Linde\-mann-Weierstraß (mittels Padé-Approximationen bewiesen) bzw. dessen Verallgemeinerung von Siegel (1929) und Shidlovskii (ab 1955) auf sogenannte \(E\)-Funktionen. Auf die zentralen Ingredienzien der Siegel-Shidlovskii\-schen Methode wird detailliert eingegangen: Reduktion auf den linearen Fall, Kriterium für lineare Unabhängigkeit, Konstruktion nichttrivialer Linearformen in den zu untersuchenden Funktionen via Thue-Siegel-Lemma und obere Abschätzungen der Nullstellenordnung solcher Linearformen. Kap. 3 beginnt mit einem Beweis des Satzes von Gel'fond-Schneider (1934) mittels der von Laurent (1992) eingeführten Interpolationsdeterminanten. Dann wird Gel'fonds Kriterium (1949) dafür, dass \(\mathbb{Q}(\omega_1,\dots ,\omega_m)\) bei gegebenen \(\omega_1,\dots , \omega_m\in\mathbb{C}\) über \(\mathbb{Q}\) einen Transzendenzgrad \(\geq2\) hat, vorgestellt und auf Werte der Exponentialfunktion angewandt. Unter anderem ergibt sich daraus die a.U. von \(\alpha^\beta,\dots ,\alpha^{\beta^{d-1}}\) für \(\alpha,\beta\in \overline{\mathbb{Q}}^\times, \log\alpha\neq0, d:=[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}]\) im Fall \(d=3\); bei beliebigem \(d\geq2\) ist dies als Gel'fondsche Vermutung bekannt. In den Kap. 5 und 6 werden mehrdimensionale Verallgemeinerungen der Gel'fondschen Eliminationsm…
reviewed by: Peter Bundschuh
Mathematics Subject Classification ID: 11J85
Mathematics Subject Classification ID: 11-02
Mathematics Subject Classification ID: 11J81
Mathematics Subject Classification ID: 11J82
zbMATH DE Number: 5839701
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 5839701