Algebraic independence.
Fast jede systematische Darstellung der Theorie der transzendenten Zahlen enthält zumindest einen kleinen Exkurs über algebraische Unabhängigkeit (kurz: a.U.). Die einzige komplett diesem Unterthema gewidmete Monographie war bis jetzt das von 11 Autoren geschriebene Sammelwerk [Introduction to algebraic independence theory. Lecture Notes in Mathematics. 1752. Berlin: Springer (2001; Zbl 0966.11032)], an dem auch Verf. mitgearbeitet hat. Nun legt er eine kürzere, aber leichter zugängliche Einführung -- gewissermaßen `aus einer Hand' -- in denselben Themenkreis vor, die aus Vorlesungen (1997) am Tata-Institut entstanden ist. Die ersten beiden Kapitel befassen sich mit dem klassischen Satz von Linde\-mann-Weierstraß (mittels Padé-Approximationen bewiesen) bzw. dessen Verallgemeinerung von Siegel (1929) und Shidlovskii (ab 1955) auf sogenannte \(E\)-Funktionen. Auf die zentralen Ingredienzien der Siegel-Shidlovskii\-schen Methode wird detailliert eingegangen: Reduktion auf den linearen Fall, Kriterium für lineare Unabhängigkeit, Konstruktion nichttrivialer Linearformen in den zu untersuchenden Funktionen via Thue-Siegel-Lemma und obere Abschätzungen der Nullstellenordnung solcher Linearformen. Kap. 3 beginnt mit einem Beweis des Satzes von Gel'fond-Schneider (1934) mittels der von Laurent (1992) eingeführten Interpolationsdeterminanten. Dann wird Gel'fonds Kriterium (1949) dafür, dass \(\mathbb{Q}(\omega_1,\dots ,\omega_m)\) bei gegebenen \(\omega_1,\dots , \omega_m\in\mathbb{C}\) über \(\mathbb{Q}\) einen Transzendenzgrad \(\geq2\) hat, vorgestellt und auf Werte der Exponentialfunktion angewandt. Unter anderem ergibt sich daraus die a.U. von \(\alpha^\beta,\dots ,\alpha^{\beta^{d-1}}\) für \(\alpha,\beta\in \overline{\mathbb{Q}}^\times, \log\alpha\neq0, d:=[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}]\) im Fall \(d=3\); bei beliebigem \(d\geq2\) ist dies als Gel'fondsche Vermutung bekannt. In den Kap. 5 und 6 werden mehrdimensionale Verallgemeinerungen der Gel'fondschen Eliminationsmethode bereitgestellt: Kap. 5 befasst sich mit den zentralen Hilfsmitteln aus der kommutativen Algebra, während Kap. 6 dem Beweis des Philipponschen Kriteriums für a.U. (1986) gewidmet ist. In Kap. 7 kommt Verf. auf die o.g. Gel'fondsche Vermutung zurück, die bei \(d\geq4\) noch offen ist: Das beste bisher bekannte Ergebnis, \(\mathrm{tr.deg}_\mathbb{Q}\mathbb{Q}(\alpha^\beta,\dots ,\alpha^{\beta^{d-1}})\geq[(d+1)/2]\) von Diaz bzw. Verf. (1989), wird dort gezeigt ebenso wie ein Analogon über die Weierstraßsche \(\wp\)-Funktion. Aufsehen erregte Verf. mit seinem Beweis von \(\mathrm{tr.deg}_\mathbb{Q}\mathbb{Q}(q,P(q),Q(q),R(q))\geq3\) für jedes \(q\in\mathbb{C}^\times\) mit \(|q|<1\), wobei \(P(z),Q(z),R(z)\) die (nach Mahler (1969) über \(\mathbb{C}(z)\) a.u.) Ramanujan-Funktionen sind. Dies Ergebnis und Folgerungen daraus, etwa die a.U. von \(\pi,e^\pi,\Gamma(1/4)\), werden in Kap. 4 vorgestellt. Sein Beweis (1996) benötigt erneut Philippons Kriterium aus Kap. 6 ebenso wie eine für jedes \(A\in\mathbb{C}[z,x_1,x_2,x_3]\setminus\{0\}\) gültige, nahezu bestmögliche obere Abschätzung der Nullstellenordnung von \(A(z,P(z),Q(z),R(z))\) an \(z=0\) in Abhängigkeit von \(\deg_zA,\deg_{x_i}\!A\) (\(i=1,2,3\)), deren Beweis das ganze Kap. 8 gewidmet ist.
scientific article; zbMATH DE number 5839701