\(p\)-adic continued fractions
type: Item
instance of: scholarly article
title: \(p\)-adic continued fractions
zbMATH Open document ID: 1234.11089
author: Jordan Hirsh
author: Lawrence C. Washington
published in: The Ramanujan Journal
publication date: 2011-09-13T00:00:00Z
review text: \textit{T. Schneider} [Sympos. Math. 4, 181--189 (1970; Zbl 0222.10035)] bewies, dass sich jede ganze \(p\)-adische Zahl in eindeutiger Weise in einen \(p\)-adisch konvergenten Kettenbruch der Form \((\ast): \,\, b_0+p^{a_1}/(b_1+p^{a_2}/(b_2+p^{a_3}/...))\) mit \(b_0\in\{0,...,p-1\}\) sowie \(a_i\in\mathbb{N}, b_i\in\{1,...,p-1\}\) für alle \(i\in\mathbb{N}\) entwickeln lässt. Diese Kettenbrüche zeigen in mancher Hinsicht ein ganz anderes Verhalten als ihre reellen Gegenstücke. Ref. [Elem. Math. 32, 36--40 (1977; Zbl 0344.10017)] charakterisierte die Elemente von \(\mathbb{Q}\cap\mathbb{Z}_p\) mit nicht abbrechender Kettenbruchentwicklung, und genau diese rationalen Zahlen werden hier eingehender untersucht je nachdem ob \(p=2\) oder \(p\geq3\) gilt. Schließlich beweisen Verff. folgendes \(p\)-adische Analogon zu einem Satz von Khinchin: Für fast alle \(x\in p\mathbb{Z}_p\) genügt die Entwicklung \((\ast)\) (mit \(b_0=0\)) der Bedingung \((a_1+...+a_n)/n\to p/(p-1)\) bei \(n\to\infty\); dabei bezieht sich `fast alle' auf das additive Haarsche Maß auf \(p\mathbb{Z}_p\).
reviewed by: Peter Bundschuh
Mathematics Subject Classification ID: 11J70
Mathematics Subject Classification ID: 11A55
Mathematics Subject Classification ID: 11K50
Mathematics Subject Classification ID: 11S85
zbMATH DE Number: 5947298
zbMATH Keywords: \(p\)-adic continued fraction
zbMATH Keywords: Khinchin's theorem
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s11139-010-9266-x
OpenAlex ID: W2009640904
cites work: p-adische Kettenbrüche und Irrationalität p-adischer Zahlen
cites work: Q5799972
cites work: Some metric properties of p-adic numbers
cites work: On the ergodic theorems (II) (Ergodic theory of continued fractions)
DOI: 10.1007/S11139-010-9266-X
description: scientific article; zbMATH DE number 5947298