Normality in a Kantor family
Der Verfasser studiert in einer endlichen Gruppe \(G\) der Ordnung \(s^ 2\cdot t\) Familien \(\mathcal F\) von \(t+1\) Untergruppen der Ordnung \(s\) mit gewissen Durchschnittseigenschaften, aus denen sich nach \textit{W. M. Kantor} [J. Comb. Theory, Ser. A 29, 212-219 (1980; Zbl 0465.51007)] verallgemeinerte Vierecke der Ordnung \((s,t)\) konstruieren lassen. Er zeigt, daß zwei verschiedene Untergruppen aus \(\mathcal F\) nur dann in \(G\) normal sein können, wenn \(G\) eine elementar abelsche \(p\)-Gruppe ist. Zu jedem \(A\in {\mathcal F}\) existiert eine Untergruppe \(A^*\) der Ordnung \(st\), mit \(A \leq A^*\) und \(A^* \cap B = 1\) für alle \(B\in {\mathcal F}\setminus \{A\}\); es sei \({\mathcal F}^*\) die Familie dieser Untergruppen. Der Verfasser zeigt: Ist jedes \(A^* \in {\mathcal F}^*\) ein Normalteiler von \(G\), so ist \(G\) eine \(p\)-Gruppe, und jedes \(A\in {\mathcal F}\) ist entweder elementar abelsch, oder es ist \(s\geq t^{3\over 2}\) und jede Gruppe \(A\in {\mathcal F}\) ist metabelsch vom Exponenten höchstens \(p^ 2\).
scientific article; zbMATH DE number 446859