A note on the construction of metacyclic extensions
Es seien \(p\) eine Primzahl, \(r\) ein Teiler von \(p-1\) und \(s\) ein Teiler von \(r\). \(M_p(s|r)\) bezeichne das semidirekte Produkt einer zyklischen Gruppe der Ordnung \(p\) und einer zyklischen Gruppe der Ordnung \(r\), das durch zwei Elemente \(g\) und \(h\) erzeugt wird, die den folgenden Relationen genügen: \(g^p= h^r= 1\), \(h^{-1}gh= g^x\), wobei \(x\) eine ganze Zahl ist, deren Ordnung modulo \(p\) gleich \(s\) ist. Somit ist \(M_p(s|r)\) genau dann eine Frobeniusgruppe vom Grad \(p\), wenn \(s= r> 1\) gilt. Es sei nun \(k\) ein Körper mit einer von 2 verschiedenen Charakteristik und sei \(K\) eine zyklische Erweiterung von \(k\) vom Grad \(r\), derart dass die folgende Bedingungen erfüllt sind: 1) \(K\cap k(\zeta)= k\), wo \(\zeta\) eine primitive \(p\)-te Einheitswurzel bezeichnet, 2) \(r> 1\) und \(r\) ist ein Teiler von \([K(\zeta): K]\). Unter diesen Voraussetzungen werden diejenigen zyklischen Erweiterungen von \(K\) vom Grade \(p\) charakterisiert, welche Galoissche Erweiterungen von \(k\) mit der Galoisgruppe \(M_p(s|r)\) sind. Schliesslich werden explizite Polynome mit diesen Galoisgruppen angegeben.
scientific article; zbMATH DE number 1799661
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