A note on the construction of metacyclic extensions
type: Item
instance of: scholarly article
title: A note on the construction of metacyclic extensions
zbMATH Open document ID: 1019.12002
author: Masahiko Sase
author: Shin-Ichi Nakano
published in: Tokyo Journal of Mathematics
publication date: 2002-11-05T00:00:00Z
review text: Es seien \(p\) eine Primzahl, \(r\) ein Teiler von \(p-1\) und \(s\) ein Teiler von \(r\). \(M_p(s|r)\) bezeichne das semidirekte Produkt einer zyklischen Gruppe der Ordnung \(p\) und einer zyklischen Gruppe der Ordnung \(r\), das durch zwei Elemente \(g\) und \(h\) erzeugt wird, die den folgenden Relationen genügen: \(g^p= h^r= 1\), \(h^{-1}gh= g^x\), wobei \(x\) eine ganze Zahl ist, deren Ordnung modulo \(p\) gleich \(s\) ist. Somit ist \(M_p(s|r)\) genau dann eine Frobeniusgruppe vom Grad \(p\), wenn \(s= r> 1\) gilt. Es sei nun \(k\) ein Körper mit einer von 2 verschiedenen Charakteristik und sei \(K\) eine zyklische Erweiterung von \(k\) vom Grad \(r\), derart dass die folgende Bedingungen erfüllt sind: 1) \(K\cap k(\zeta)= k\), wo \(\zeta\) eine primitive \(p\)-te Einheitswurzel bezeichnet, 2) \(r> 1\) und \(r\) ist ein Teiler von \([K(\zeta): K]\). Unter diesen Voraussetzungen werden diejenigen zyklischen Erweiterungen von \(K\) vom Grade \(p\) charakterisiert, welche Galoissche Erweiterungen von \(k\) mit der Galoisgruppe \(M_p(s|r)\) sind. Schliesslich werden explizite Polynome mit diesen Galoisgruppen angegeben.
Mathematics Subject Classification ID: 12F12
Mathematics Subject Classification ID: 11R20
zbMATH DE Number: 1799661
zbMATH Keywords: inverse Galois theory
zbMATH Keywords: cyclic extensions
zbMATH Keywords: Galois extensions
zbMATH Keywords: Galois groups
zbMATH Keywords: explicit polynomials
reviewed by: Christian U. Jensen
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.3836/tjm/1244208946
OpenAlex ID: W1976864726
cites work: Polynomials with Frobenius groups of prime degree as Galois groups. II
cites work: Advanced Topics in Computional Number Theory
cites work: Endliche Gruppen I
cites work: Q4817224
DOI: 10.3836/TJM/1244208946
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description: scientific article; zbMATH DE number 1799661