Three-dimensional hyperelliptic manifolds
Ausgehend von einer der acht dreidimensionalen Geometrien \(X^ 3\) nach Thurston wird eine hyperelliptische Mannigfaltigkeit \(M^ 3\) folgendermaßen definiert: Sei G eine Gruppe diskreter Isometrien von \(X^ 3\), dann ist \(M^ 3=X^ 3/G\) genau dann hyperelliptisch, wenn eine isometrische Involution \(\tau\) existiert, derart daß der Faktorraum \(M^ 3/<\tau >\) diffeomorph zu \(S^ 3\) ist. Es wird die Existenz hyperelliptischer Mannigfaltigkeiten für jede der acht dreidimensionalen Geometrien von Thurston nachgewiesen. Für die Geometrien \(H^ 3\), \(E^ 3\), \(S^ 3\), \(H^ 2\times E^ 1\) bzw. \(S^ 2\times E^ 1\) wird folgender Satz als wesentliches Beweishilfsmittel verwendet: \(\Delta\) (P) sei die von den Spiegelungen an den Flächen eines nichtentarteten rechtwinkligen Polyeders P erzeugte Gruppe, und die Ecken und Kanten sollen einen Hamiltonschen Graphen bilden. Dann gibt es eine Untergruppe vom Index 8, derart daß \(M^ 3=X^ 3/G\) eine hyperelliptische Mannigfaltigkeit ist. Für die drei restlichen Geometrien ist der Existenzbeweis bereits in der zitierten Literatur vorhanden.
scientific article; zbMATH DE number 4171959