Shelah's pcf theory and its applications
type: Item
instance of: scholarly article
title: Shelah's pcf theory and its applications
zbMATH Open document ID: 0713.03024
DOI: 10.1016/0168-0072(90)90057-9
author: Maxim R. Burke
author: Menachem Magidor
published in: Annals of Pure and Applied Logic
publication date: 1990-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://polipapers.upv.es/index.php/AGT/article/view/1738
review text: Sei a eine unendliche Menge von regulären Kardinalzahlen, so daß \(\min (a)>| a|\) gilt. Sei d ein Ultrafilter auf a und \(\Pi\) a das Cartesische Produkt von a. Dann ist \(\Pi\) a/D eine Ordnung von \(\Pi\) a, wo für f,g\(\in \Pi a\), \(f=_ Dg\) genau dann, wenn \(\{\iota\in a:\) \(f(\iota)=g(\iota)\}\in D\), bzw. \(f\leq_ Dg\) genau dann, wenn \(\{\iota\in a:\) f(\(\iota\))\(\leq g(\iota)\}\in D\). cf(\(\Pi\) a/D) ist die Ordinalzahl, die die Kofinalität von \(\Pi\) a/D darstellt. \[ pcf(a)=\{\lambda:\;\lambda =cf(\Pi a/D)\quad bei\quad irgendeinem\quad D\}. \] Das Hauptresultat ist das folgende Theorem: Sei \(\lambda =cf(\Pi a/D)\) und \(\mu =\lim_ Da\) die einzige Kardinalzahl, für die bei jedem \(\beta <\mu\), \(\{\alpha\in a:\beta <\alpha \leq \mu \}\in D\) gilt. Dann gibt es für jedes reguläre \(\lambda '\) mit \(\mu <\lambda '<\lambda\) eine Menge \(a'\) von regulären Kardinalzahlen, \(| a'| =| a|\), und einen Ultrafilter \(D'\) auf \(a'\), so daß \(\lim_{D'}a'=\mu\) und \(cf(\Pi a'/D')=\lambda '.\) Diese Theorie wird für die Konstruktion von Jonsson-Algebren auf verschiedenen Kardinalzahlen verwendet, wobei \((A,(f_ i)_{i<\omega})\) eine Jonsson-Algebra genannt wird, wenn es keine echte Teilalgebra \((B,(f_ i| B)_{i<\omega})\) gibt. Von weiteren Resultaten der Kardinalzahlarithmetik sind die folgenden nennenswert: Theorem: Sei a ein Intervall von regulären Kardinalzahlen, \(a=[\min (a),\sup (a)]\), so daß \(\min (a)^{| a|}<\sup (a)\). Dann gilt \(\max (pcf(a))=| \Pi a|\). Theorem: Für jede Limesordinalzahl \(\delta\) gilt \(\aleph_{\delta}^{cf(\delta)}<\aleph_{(| \delta |^{cf(\delta)})^+}\).
reviewed by: Ants Tauts
Mathematics Subject Classification ID: 03E10
zbMATH DE Number: 4172963
zbMATH Keywords: regular cardinals
zbMATH Keywords: cardinal arithmetic
zbMATH Keywords: reduced product
zbMATH Keywords: cofinality
zbMATH Keywords: Jonsson algebra
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2037540270
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description: scientific article; zbMATH DE number 4172963