On the order of subsets of asymptotic bases
Sei \(A\subset {\mathbb{N}}_ 0\) und hA die Menge aller Zahlen, die sich als Summe von h (nicht notwendig verschiedenen) Summanden aus A darstellen lassen (h\(\in {\mathbb{N}})\). Wenn hA alle genügend großen Zahlen aus \({\mathbb{N}}\) enthält, heißt A (asymptotische) Basis h-ter Ordnung. Sei g(A) die kleinste mögliche Zahl h, so daß A eine Basis h-ter Ordnung ist. Ist A eine Basis h-ter Ordnung, so wird weiter definiert \(I_ k(A):=\{F| F\subset A\); \(| F| =k\); \(A\setminus F\) ist Basis\} und \(G_ k(h):=\max_{A,g(A)\leq h} \max_{F\in I_ k(A)}g(A\setminus F)\). Der Verf. zeigt dann (Theorem 1) \(G_ k(h)\geq (k+1)((k+1)/(k+2))^ k(h/(k+1))^{k+1}+O(h^ k)\) für \(h\to \infty\) \((k\in {\mathbb{N}}).\) Eine Menge \(A_ k=\{a_ 0,a_ 1,...,a_ k\}\) mit \(O=a_ 0<1=a_ 1<a_ 2<...<a_ k\) heißt h-Basis für n, wenn gilt h \(A_ k\supset \{0,1,...,n\}\). Sei \(n(h,A_ k)\) die größte Zahl n, für die \(A_ k\) eine h-Basis ist, und sei \(n(h,k):=\max_{A_ k}(h,A_ k)\). Dann wird weiter gezeigt (Theorem 2) \(G_ k(h)\geq n(h-1,k+1)\) für \(h\geq 3\) und \(k\geq 1,\) (Theorem 3) \(G_ k(h)\geq 2n(h-1,k)+h\) für \(h\geq 3\) und \(k\geq 1.\) Mit Hilfe von Resultaten von \textit{A. Mrose} [Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 48, 118-124 (1979; Zbl 0406.10046)] und \textit{R. Windecker} [Norske Vid. Selsk., Skr. 1976, No.9 (1976; Zbl 0338.10052)] erhält Verf. die speziellen Abschätzungen \(G_ k(3)\geq (4/7)k^ 2+O(k)\) und \(G_ k(4)\geq (8/81)k^ 3+4,\) die frühere Resultate des Verf. verschärfen.
scientific article; zbMATH DE number 4177145
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