Modules d'Alexander et \({\mathcal D}\)-modules. (Alexander modules and \({\mathcal D}\)-modules)
Dans cet article on étudie certaines généralisations de la construction des cycles proches des complexes constructibles [cf. SGA 7 \(= S\acute e\min aire\) de géométrie algèbrique 7 I et II, Lect. Notes Math. 288(1972) et 340 (1973)], de la spécialisation des \({\mathcal D}\)-modules holonomes [\textit{B. Malgrange}, Astérisque 101-102, 243-267 (1983; Zbl 0528.32007)] et de la comparaison entre les deux au cas où il y a plusieurs équations, tout en gardant le point de vue torique developpé par l'auteur [``Proximité évanescente'' I et II, Compos. Math. 62, 283-328 (1987; Zbl 0622.32012) et ibid. 64, 213-241 (1987; Zbl 0632.32006). Il y a donc trois aspects à souligner: L'aspect discret, où on fait les constructions sur les complexes constructibles; il est developpé au {\S}2. L'aspect continu, où on travaille avec les \({\mathcal D}\)-modules holonomes; il est developpé aux {\S}3, {\S}4. Et finalement l'aspect comparaison, où on étudie le rapport entre les deux aspects précédents via le foncteur ``De Rham'' (cas régulier); il est developpé au {\S}5. Fixons brièvement la situation considérée dans l'article: X est une variété analytique complexe, \(\kappa\) est un entier plus grand ou égal \(que\quad 1,\) \(Y_ i,\quad i=1,...,\kappa\) sont des hypersurfaces lisses de X en position générale, \(Y=\cap Y_ i \), \(S={\mathbb{C}}^{\kappa}\) et \(S^*\) est le tore correspondant, \(\phi: {\mathcal X}\to S\) est la déformation multiple sur les fibrés normaux des \(Y_ i\), \({\mathcal Y}=\phi^{-1}(0)\), \(\Omega\) est un cône convexe polyédral rationnel fermé dans \(({\mathbb{Q}}^{\kappa})^*_{\geq 0}\), \(\phi_{\Omega}: {\mathcal X}_{\Omega}\to S_{\Omega}\) est le pull-back de \(\phi\) par le changement de base torique \(S_{\Omega}\to S\) associé à \(\Omega\), \(O_{\Omega}\subset S_{\Omega}\) est l'orbite de dimension minimale et \(A={\mathbb{C}}[\pi_ 1(S^*)]={\mathbb{C}}[T_ 1,...,T_{\kappa},T_ 1^{-1},...,T_{\kappa}^{-1}].\) Voici le contenu du travail. Au paragraphe {\S}1 on étudie les eventails d'équidimensionnalité et de non éclatement d'un sous- ensemble analytique fermé Z de X par rapport aux \(Y_ i\) et les eventails caractéristiques d'un complexe à cohomologie \({\mathbb{C}}\)- constructible. Ceci permet d'associer des pentes aux objets considerés, généralisant la méthode du polyèdre de Newton. Le résultat principal établit un rapport entre la notion d'éventail de non éclatement pour Z, la notion d'éventail d'équidimensionnalité pour les variétés polaires de Z et celle d'éventail associé au polyèdre de Newton du discriminant de la restriction à Z des équations des \(Y_ i.\) Au paragraphe {\S}2, on définit pour un objet \({\mathcal F}\) de \(D_ c^ b(X,{\mathbb{C}})\) son complexe d'Alexander spécialisé \({}^ Asp_{\Omega}{\mathcal F}\) (relativement au cône \(\Omega\)), qui est un objet de \(D_ c^ b(\phi_{\Omega}^{-1}(O_{\Omega}),A)\). Cette construction généralise la spécialisation de \textit{J. L. Verdier} [Astérisque 101-102, 332-364 (1983; Zbl 0532.14008)]. Si on fixe des équations \(f_ i\) des \(Y_ i\) et \(\Omega\) est de dimension maximale, on définit le complexe d'Alexander proche \({}^ A\psi^{\Omega}_{f_ 1,...,f_{\kappa}}{\mathcal F}\), qui est un objet de \(D_ c^ b(Y,A)\). La cohomologie de la fibre en un point de cet objet nous donne les modules d'Alexander en ce point associés à l'application \((f_ 1,...,f_{\kappa})\). Il généralise donc le complexe des cycles proches de SGA 7 et il est déduit de \({}^ Asp_{\Omega}{\mathcal F}\) de la façon naturelle. Le résultat principal nous dit que le support de ce dernier complexe dans Spec(A) est contenu dans une réunion de translatés de sous-tores dont les directions se calculent à l'aide d'un éventail caractéristique générique pour \({\mathcal F}\). On étudie finalement des formules pour la fonction zeta associée à \({}^ Asp_{\Omega}{\mathcal F}\) généralisant celle de \textit{N. A'Campo} [Commentarii Math. Helvet. 50, 233-248 (1975; Zbl 0333.14008)]. Au paragraphe {\S}3 on rappelle quelques résultats du Auteur [``Proximité évanescente'' I, II (loc. cit.)], notamment la notion de \({\mathcal D}\)-module multi-spécialisable le long de \((Y_ 1,...,Y_{\kappa})\), l'existence d'éventails de platitude (ou adaptés), la notion d'ensemble de pentes ainsi que son rapport avec les eventails caractéristiques génériques, et le comportement par dualité de bonnes \(\kappa\)-filtrations. Au paragraphe {\S}4 on définit pour un \({\mathcal D}_ X\)-module holonome \({\mathcal M}\) quasi-unipotent (relativement à \(Y_ 1,...,Y_{\kappa})\) et un ``multi-valeur'' propre \(\tau \in ({\mathbb{C}}^*)^{\kappa}\), son multi-spécialisé modéré pour \(\tau\), \(sp_{\Omega}({\mathcal M})_{\tau}\) (relativement au cône \(\Omega\)), qui est un objet de \(D_ c^ b({\mathcal D}_{\phi_{\Omega}^{-1}(O_{\Omega})}[[N_ 1,...,N_{\kappa}]])\). L'action des \(N_ i\) s'interprète comme la partie nilpotente des monodromies \(T_ 1,...,T_{\kappa}\) en \(\tau\). On développe un formalisme analogue à celui de {\S}3 avec \({\mathcal D}_ X\) remplacé par \({\mathcal D}_ X[[N_ 1,...,N_{\kappa}]]\). Cette nouvelle structure tient compte des phénomènes infinitésimaux via l'identification entre \(Spec({\mathbb{C}}[[N_ 1,...,N_{\kappa}]])\) et le germe formel à l'origine de l'espace tangent au tore \(S^*\) au point \(\tau\). Le résultat principal donne une estimation du support ponctuel et du support infinitésimal de \(sp_{\Omega}({\mathcal M})_{\tau}\) analogue à celle de \({}^ Asp_{\Omega}{\mathcal F}\), où on remplace éventail caractéristique générique pour \({\mathcal F}\) par éventail de platitude pour \({\mathcal M}.\) Au {\S}5 on démontre le théorème de comparaison suivant \((th\acute eor\grave eme\quad 5.1.2):\) Si \({\mathcal M}\) est un \({\mathcal D}_ X\)-module holonome régulier, quasi-unipotent le long de \(Y_ 1,...,Y_{\kappa}\), \(\Omega\) est un cône de dimension \(\kappa\) et \(\tau \in ({\mathbb{C}}^*)^{\kappa}\), on a un isomorphisme naturel dans \(D^ b({\mathcal Y},{\mathbb{C}}[[N_ 1,...,N_{\kappa}]])\) entre \underbar{DR}(sp\({}_{\Omega}({\mathcal M})_{\tau})\) et \({}^ Asp_{\Omega}{\mathcal F}\otimes_ A\hat A_{\tau}\), avec \(\hat A_{\tau}\) identifié avec \({\mathbb{C}}[[N_ 1,...,N_{\kappa}]]\) par \(T_ i=\tau_ i \exp (2\sqrt{-1}\pi N_ i)\). Comme corollaire de ce résultat on démontre que la fonction zêta du complexe d'Alexander proche d'un faisceau pervers est la fonction caractéristique d'un faisceau pervers. Finalement on voit comment l'estimation des supports du {\S}4 pour le ``De Rham'' d'un \({\mathcal D}_ X\)-module holonome régulier est possible à partir des éventails caractéristiques à la place des éventails de platitude.
scientific article; zbMATH DE number 4177247
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