Dualité symplectique, feuilletages et géometrie du moment. (Symplectic duality, foliations and moment geometry)
L'article est divisé en deux parties l'une consacrée à la généralisation de la notion de moment, l'autre à l'extension du théorème d'Atiyah-Guillemin-Sternberg à certains moments transverses. Le moment au sens de Souriau permet de reconstituer par dualité symplectique le feuilletage par les orbites. Plus généralement à une \(\Gamma\)-structure Poissonienne on associe par dualité un feuilletage de Stefan-Libermann [cf. \textit{M. Condevaux}, l'auteur et le rapporteur, Travaux du Séminaire Sud-Rhodanien I, Publ. Dept. Math., Lyon (1988)1/B et autres items de la \^meme publication] on dit que la \(\Gamma\)-structure Poissonienne est un moment généralisé du feuilletage. Un feuilletage de Stefan-Libermann \({\mathcal F}\) n'admet pas toujours de moment généralisé. C'est par contre le cas si \({\mathcal F}\) est le feuilletage par les actions symplectiques d'un groupe et dans ce cas on peut construire de plus un moment réduit sur un cylindre quotient du dual de l'algèbre de Lie du groupe. L'auteur s'intéresse alors aux feuilletages \({\mathcal F}\) transversalement symplectiques qui sont également transversalement riemanniens. Utilisant la belle théorie dont il est l'auteur - et qui est sommairement rappelée - et des travaux plus récents d'A. Haefliger et E. Salem il montre que l'on peut construire pour ces feuilletages un moment transverse généralisé. Si \({\mathcal F}\) désigne la partition par les adhérences des feuilles, \(\bar {\mathcal F}\) est un feuilletage de Stefan et l'espace W des feuilles \(\bar {\mathcal F}\) une variété de Poisson stratifiée. Si la variété de départ est simplement connexe, il existe alors un moment transverse structural à valeurs dans un algèbre de Lie abélienne, et, si la variété est de plus compacte, on peut alors étendre le théorème de convexité des actions de Tores. La démonstration n'est qu'esquissée. L'auteur renvoyant à ses contributions parues dans les travaux du Séminaire Sud-Rhodanien de Géométrie [Publ. Dept. Math., Lyon (1988) 1/B].
scientific article; zbMATH DE number 4178048