Killing the Akbulut-Kirby 4-sphere, with relevance to the Andrews-Curtis and Schoenflies problems
type: Item
instance of: scholarly article
title: Killing the Akbulut-Kirby 4-sphere, with relevance to the Andrews-Curtis and Schoenflies problems
zbMATH Open document ID: 0715.57016
DOI: 10.1016/0040-9383(91)90036-4
author: Robert E. Gompf
published in: Topology
publication date: 1991-01-01T00:00:00Z
review text: Die Akbulut-Kirby 4-Sphäre \(\Sigma^ 4\) besitzt eine Henkelzerlegung mit je 2 1-Henkeln und 2-Henkeln und ohne 3-Henkel; von der zugehörigen Präsentation P ist noch unbekannt, ob sie Andrews-Curtis trivial ist [s. \textit{S. Akbulut} und \textit{R. Kirby}, Topology 24, 375-390 (1985; Zbl 0584.57009)]. Deshalb galt \(\Sigma^ 4\) als potentielles Gegenbeispiel zur 4-dimensional differenzierbaren Poincarévermutung. In der vorliegenden Arbeit wird jedoch ein konkreter Diffeomorphismus \(\Sigma^ 4\approx S^ 4\) konstruiert. Er umgeht das Andrews-Curtis-Problem durch eine Folge von Henkelzerlegungen, bei der zwischendurch 3-Henkel auftreten. Eine frühere Fassung der Arbeit ging aus von Betrachtungen zur differenzierbaren 4-dimensionalen Schoenfliesvermutung S, zu denen \(\Sigma^ 4\) Anlaß gibt. Davon verbleibt nach der Einsicht \(\Sigma^ 4\approx S^ 4\) u.a., daß - falls P nichttrivial ist - ein Beweis von S mittels Morsetheorie die Notwendigkeit der zwischenzeitlich auftretenden 3-Henkel widerspiegeln müßte. Abschließend werden nach Cappell-Shaneson weitere topologische 4- Sphären angegeben, für die eine differenzierbare Trivialisierung noch aussteht.
Mathematics Subject Classification ID: 57R60
Mathematics Subject Classification ID: 57N13
Mathematics Subject Classification ID: 57M05
Mathematics Subject Classification ID: 57M10
Mathematics Subject Classification ID: 57N50
zbMATH DE Number: 4178141
zbMATH Keywords: Andrews-Curtis-conjecture
zbMATH Keywords: Schoenflies-conjecture
zbMATH Keywords: 4-dimensional smooth Poincaré conjecture
zbMATH Keywords: 4-dimensional homotopy spheres
Wikidata QID: Q56456644
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0040-9383(91)90036-4
OpenAlex ID: W2050736535
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description: scientific article; zbMATH DE number 4178141