Killing the Akbulut-Kirby 4-sphere, with relevance to the Andrews-Curtis and Schoenflies problems
Die Akbulut-Kirby 4-Sphäre \(\Sigma^ 4\) besitzt eine Henkelzerlegung mit je 2 1-Henkeln und 2-Henkeln und ohne 3-Henkel; von der zugehörigen Präsentation P ist noch unbekannt, ob sie Andrews-Curtis trivial ist [s. \textit{S. Akbulut} und \textit{R. Kirby}, Topology 24, 375-390 (1985; Zbl 0584.57009)]. Deshalb galt \(\Sigma^ 4\) als potentielles Gegenbeispiel zur 4-dimensional differenzierbaren Poincarévermutung. In der vorliegenden Arbeit wird jedoch ein konkreter Diffeomorphismus \(\Sigma^ 4\approx S^ 4\) konstruiert. Er umgeht das Andrews-Curtis-Problem durch eine Folge von Henkelzerlegungen, bei der zwischendurch 3-Henkel auftreten. Eine frühere Fassung der Arbeit ging aus von Betrachtungen zur differenzierbaren 4-dimensionalen Schoenfliesvermutung S, zu denen \(\Sigma^ 4\) Anlaß gibt. Davon verbleibt nach der Einsicht \(\Sigma^ 4\approx S^ 4\) u.a., daß - falls P nichttrivial ist - ein Beweis von S mittels Morsetheorie die Notwendigkeit der zwischenzeitlich auftretenden 3-Henkel widerspiegeln müßte. Abschließend werden nach Cappell-Shaneson weitere topologische 4- Sphären angegeben, für die eine differenzierbare Trivialisierung noch aussteht.
4-dimensional smooth Poincaré conjecture
scientific article; zbMATH DE number 4178141