Zahlentheoretische Modelle für Rechtseitebenen. (On numbertheoretical models of rectangular planes)
M. Dehn zeigte 1900, daß es nicht archimedisch angeordnete absolute Ebenen gibt, in denen zwar jedes Viereck mit drei rechten Winkeln bereits ein Rechteck ist, die aber nicht dem Parallelenaxiom genügen. Solche Ebenen sind später genauer von F. Bachmann unter schwächeren axiomatischen Voraussetzungen untersucht worden. Der wohl allgemeinste Begriff ``Rechtseitebene'', der noch eine Begründung gestattet, ist vom Referenten [der Autor und der Referent, Mitt. Math. Ges. Hamb. 10, 531-551 (1979; Zbl 0439.51004)] durch ein spiegelungstheoretisches Axiomensystem definiert worden. E läßt sich zu einer kommutativen Gruppe \((E,+)\) machen, zu der es eine quadratische separable Körpererweiterung (L,K) gibt, so daß gilt \((E,+)\leq (L,+)\), \(1\in E\) und \(s\cdot E\subset E\) für alle \(s\in L\) mit \(s\cdot \bar s=1\), wobei \({}^-\) den von der Identität verschiedenen K-Automorphismus von \((L,+,\cdot)\) bezeichnet. Die Verf. hat in zwei späteren Artikeln Kennzeichnungen dieser Rechtseitebenen durch Inzidenz-, Parallelitäts- und Kongruenz-Axiome angegeben [J. Geom. 24, 62-73 (1985; Zbl 0552.51012) und Beitr. Geom. Algebra Nr. 11 (TUM-M85506), München (1985)]. Damit ergab sich das Problem, einen Überblick über alle möglichen Modelle zu erhalten. Hier wird eine Klassifizierung aller Rechtseitebenen für \(K={\mathbb{Q}}\) durchgeführt, d.h. für L darf man \(L={\mathbb{Q}}(\sqrt{d})\) mit \(d\in {\mathbb{Z}}\setminus \{0,1\}\) quadratfrei annehmen. Hierbei hat man zu unterscheiden, ob \(d\equiv 1\), \(d\equiv 5 mod 8\) oder \(d\equiv 2\), \(d\equiv 3 mod 4\) ist. Auch die Frage nach der Existenz von Mittelpunkten, Mittelloten, dem Schnittpunkt zweier Lote, oder nach der Gültigkeit des allgemeinen Dreispiegelungssatzes wird für die einzelnen Klassen beantwortet.
classification over the field of rational numbers
scientific article; zbMATH DE number 4180209
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