Zahlentheoretische Modelle für Rechtseitebenen. (On numbertheoretical models of rectangular planes)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zahlentheoretische Modelle für Rechtseitebenen. (On numbertheoretical models of rectangular planes)
zbMATH Open document ID: 0716.51012
DOI: 10.1007/BF02941047
author: D. Kharzeev
published in: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
publication date: 1990-01-01T00:00:00Z
review text: M. Dehn zeigte 1900, daß es nicht archimedisch angeordnete absolute Ebenen gibt, in denen zwar jedes Viereck mit drei rechten Winkeln bereits ein Rechteck ist, die aber nicht dem Parallelenaxiom genügen. Solche Ebenen sind später genauer von F. Bachmann unter schwächeren axiomatischen Voraussetzungen untersucht worden. Der wohl allgemeinste Begriff ``Rechtseitebene'', der noch eine Begründung gestattet, ist vom Referenten [der Autor und der Referent, Mitt. Math. Ges. Hamb. 10, 531-551 (1979; Zbl 0439.51004)] durch ein spiegelungstheoretisches Axiomensystem definiert worden. E läßt sich zu einer kommutativen Gruppe \((E,+)\) machen, zu der es eine quadratische separable Körpererweiterung (L,K) gibt, so daß gilt \((E,+)\leq (L,+)\), \(1\in E\) und \(s\cdot E\subset E\) für alle \(s\in L\) mit \(s\cdot \bar s=1\), wobei \({}^-\) den von der Identität verschiedenen K-Automorphismus von \((L,+,\cdot)\) bezeichnet. Die Verf. hat in zwei späteren Artikeln Kennzeichnungen dieser Rechtseitebenen durch Inzidenz-, Parallelitäts- und Kongruenz-Axiome angegeben [J. Geom. 24, 62-73 (1985; Zbl 0552.51012) und Beitr. Geom. Algebra Nr. 11 (TUM-M85506), München (1985)]. Damit ergab sich das Problem, einen Überblick über alle möglichen Modelle zu erhalten. Hier wird eine Klassifizierung aller Rechtseitebenen für \(K={\mathbb{Q}}\) durchgeführt, d.h. für L darf man \(L={\mathbb{Q}}(\sqrt{d})\) mit \(d\in {\mathbb{Z}}\setminus \{0,1\}\) quadratfrei annehmen. Hierbei hat man zu unterscheiden, ob \(d\equiv 1\), \(d\equiv 5 mod 8\) oder \(d\equiv 2\), \(d\equiv 3 mod 4\) ist. Auch die Frage nach der Existenz von Mittelpunkten, Mittelloten, dem Schnittpunkt zweier Lote, oder nach der Gültigkeit des allgemeinen Dreispiegelungssatzes wird für die einzelnen Klassen beantwortet.
Mathematics Subject Classification ID: 51F05
Mathematics Subject Classification ID: 51N25
zbMATH DE Number: 4180209
zbMATH Keywords: rectangular planes
zbMATH Keywords: classification over the field of rational numbers
reviewed by: Helmut Karzel
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q5667677
cites work: Q3843687
cites work: Q5662517
cites work: Metrische affine Ebenen
cites work: Q3881453
cites work: Eine Kennzeichnung der nicht Fanoschen Rechtseitebenen durch Inzidenz, Parallelität und Kongruenz
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02941047
OpenAlex ID: W2048095653
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description: scientific article; zbMATH DE number 4180209