On the cardinal of some finite subsets of the unit square
Bezeichnet \(F_ n\) die Farey-Folge der Ordnung n, so werden hier verschiedene Teilmengen der im Einheitsquadrat \([0,1]^ 2\) enthaltenen endlichen Menge \(F_ n\times F_ n\) auf ihre Anzahl hin untersucht. Ist z.B. \(G_ n\) diejenige Teilmenge von \(F_ n\times F_ n\), deren beide Komponenten gleiche Nenner (\(\leq n)\) haben, so wird gezeigt: Falls {\#}G\({}_ n\sim Kn^ 3\) bei \(n\to \infty\) gilt, ist \(2/\pi^ 2\leq K\leq 1/3\). Der Beweis hängt von der ausführlich hergeleiteten asymptotischen Aussage \(\sum_{n\leq n}m \phi (m)=2\pi^{-2}n^ 3+O(n^ 2 \log n)\) ab, die mittels partieller Summation in zwei Zeilen aus der Mertensschen Asymptotik für \(\sum_{m\leq n}\phi (m)\) folgt, \(\phi\) die Eulersche Phifunktion. [Es sei angemerkt, daß man aus der in der Arbeit angegebenen Formel {\#}G\({}_ n\sim \sum_{m\leq n}\phi (m)\sigma (m)\), \(\sigma\) die Teilersummenfunktion, leicht zeigen kann, daß hier die rechte Seite tatsächlich \(\sim Kn^ 3\) ist, indem man sich auf ein Resultat von \textit{E. Wirsing} [Math. Ann. 143, 75-102 (1961; Zbl 0104.042)] über die summatorische Funktion multiplikativer zahlentheoretischer Funktionen stützt. Auch die Konstante K kann explizit angegeben werden.]
scientific article; zbMATH DE number 4191764