On the cardinal of some finite subsets of the unit square
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the cardinal of some finite subsets of the unit square
zbMATH Open document ID: 0723.11002
author: Manuel Benito Muñoz
published in: Collectanea Mathematica
publication date: 1988-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/39206
review text: Bezeichnet \(F_ n\) die Farey-Folge der Ordnung n, so werden hier verschiedene Teilmengen der im Einheitsquadrat \([0,1]^ 2\) enthaltenen endlichen Menge \(F_ n\times F_ n\) auf ihre Anzahl hin untersucht. Ist z.B. \(G_ n\) diejenige Teilmenge von \(F_ n\times F_ n\), deren beide Komponenten gleiche Nenner (\(\leq n)\) haben, so wird gezeigt: Falls {\#}G\({}_ n\sim Kn^ 3\) bei \(n\to \infty\) gilt, ist \(2/\pi^ 2\leq K\leq 1/3\). Der Beweis hängt von der ausführlich hergeleiteten asymptotischen Aussage \(\sum_{n\leq n}m \phi (m)=2\pi^{-2}n^ 3+O(n^ 2 \log n)\) ab, die mittels partieller Summation in zwei Zeilen aus der Mertensschen Asymptotik für \(\sum_{m\leq n}\phi (m)\) folgt, \(\phi\) die Eulersche Phifunktion. [Es sei angemerkt, daß man aus der in der Arbeit angegebenen Formel {\#}G\({}_ n\sim \sum_{m\leq n}\phi (m)\sigma (m)\), \(\sigma\) die Teilersummenfunktion, leicht zeigen kann, daß hier die rechte Seite tatsächlich \(\sim Kn^ 3\) ist, indem man sich auf ein Resultat von \textit{E. Wirsing} [Math. Ann. 143, 75-102 (1961; Zbl 0104.042)] über die summatorische Funktion multiplikativer zahlentheoretischer Funktionen stützt. Auch die Konstante K kann explizit angegeben werden.]
reviewed by: Peter Bundschuh
Mathematics Subject Classification ID: 11A25
Mathematics Subject Classification ID: 11B57
zbMATH DE Number: 4191764
zbMATH Keywords: Euler phi-function
zbMATH Keywords: Farey sequence
zbMATH Keywords: asymptotic formula
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 4191764