Universal-finite extensions of analytic algebras
Verf. nennt eine analytische Garbe rein, wenn sie selbst ihre einzige normale endliche Erweiterung mit einem Verzweigungsort einer Kodimension \(>1\) ist. Daß jede reguläre analyti\-sche Algebra rein ist, besagt der bekannte Satz von der ,,Reinheit des Verzweigungsorts'' [vgl. z.~B. \textit{M. Nagata}, Local rings. New York etc: Interscience Publishers (1962; Zbl 0123.03402); section 41], der hier für die Charakteristik Null mit Hilfe eines universell endlichen Differentialmoduls bewiesen wird. Zu jeder normalen analytischen Algebra \(A\) über einem algebraisch abgeschlossenen bewerteten Körper wird eine ganze Galois-Erweiterung \(U(A)\) konstruiert; \(U(A)\) ist die kleinste \(A\)-Algebra, in die man jede nullteilerfreie endliche Erweiterung von \(A\) mit einem Verzweigungsort einer Kodimension \(>1\) einbetten kann. Daß \(A\) genau dann rein ist, wenn \(U(A)= A\) ist, ist über \(\mathbb C\) wegen des Zusammenhangs der Galoisgruppe von \(U(A)\) über \(A\) mit der (topologisch erklärten) Fundamentalgruppe des entsprechenden komplexen Raumkeims besonders interessant. Ist diese trivial, so ist \(A\) rein. Mit Hilfe dieses Satzes werden Beispiele nicht regulärer analytischer \(\mathbb C\)-Algebren angegeben. Schließlich wird gezeigt, daß die unter einer endlichen Automorphismengruppe \(G\) einer reinen analytischen Algebra invariante Unteralgebra genau dann rein ist, wenn \(G\) eine Spiegelungsgruppe ist.
scientific article; zbMATH DE number 3422505
scientific article