Commutators, generators and conjugacy equations in groups
Sei \(G\) eine zweielementig erzeugte Gruppe und \((c,t)\) ein festes, aber ansonsten beliebiges, Erzeugendenpaar von \(G\). Die Autoren diskutieren die folgenden drei Eigenschaften auf ihren inneren Zusammenhang (die in der freien Gruppe vom Rang 2 bekanntermaßen äquivalent sind): (A) Zwei Elemente \(g_ 1,g_ 2\in G\) erzeugen \(G\) genau dann, wenn der Kommutator \([g_ 1,g_ 2]=g_ 1^{-1}g_ 2^{-1}g_ 1g_ 2\) konjugiert ist zu \([c,t]\) oder \([c,t]^{-1}\). (B) Für zwei Elemente \(g_ 1,g_ 2\in G\) ist \([g_ 1,g_ 2]\) genau dann konjugiert zu \([c,t]\) oder \([c,t]^{- 1}\), wenn \((g_ 1,g_ 2)\) Nielsen-äquivalent zu \((c,t)\) ist. (C) Jedes Erzeugendenpaar ist Nielsen-äquivalent zu \((c,t)\). Es ist klar, daß je zwei der Eigenschaften (A), (B), (C) die dritte implizieren.
scientific article; zbMATH DE number 3884376