Zur Geometrie der Translationsstrukturen mit eigentlichen Dilatationen
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zur Geometrie der Translationsstrukturen mit eigentlichen Dilatationen
zbMATH Open document ID: 0558.51013
DOI: 10.1007/BF02941306
author: Mauro Biliotti
author: Armin Herzer
published in: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
publication date: 1983-01-01T00:00:00Z
review text: (Shortened version of the original review which is available upon request). - Verf. verallgemeinern zunächst die Konstruktion einer kinematischen Algebra mit zugeordneter affiner Inzidengruppe aus gegebenem \(L\)-Vektorraum \((M,L)\): Es gelte (V) Es gibt einen Vektorraum \((M,L)\), einen Körperautomorphismus \(\gamma\) von \(L\) und eine \((\gamma,L)\)-semibilineare Abbildung \(f:M\times M\to M\) mit \((*)\quad f(x,x)=f(x,f(y,z))=0\) für \(x,y,z\in M\). Dann ist \((M,\circ)\) mit \(a\circ b=a+b+f(a,b)\) wieder eine Gruppe, die nur dann kommutativ ist, wenn f die Nullabbildung ist. Wegen \(f(a,f(b,c))=0\) ist \((M,\circ)\) von der Nilpotenzklasse \(\leq 2.\) Folgende Resultate werden vorgestellt: (1) Es sei \(T\) eine endliche Gruppe, \(\pi\) eine Partition, d.h. Faserung von \(T\), welche eine Dilatation \(\delta\) \(\neq Id\) besitzt. Dann ist T vom Primzahlexponenten p und von Nilpotenzklasse \(\leq 2\), und es gilt (V), so daß \(T\) und \((M,\circ)\) isomorph sind. \(\pi\) besteht aus Untervektorräumen von \((M,L)\), und die Dilatationen sind gegeben durch \(M\to M;\) \(x\to x\lambda\) für geeignete \(\lambda \in L^*.\) (2) Es sei T eine endliche Gruppe vom Primzahlexponenten p und der Nilpotenzklasse \(\leq 2\) und \(\pi\) eine Partition. Dann gibt es einen Vektorraum \((M,K)\) und eine bilineare Abbildung \(f:M\times M\to M\) mit (*), so daß \(T\) und \((M,\circ)\) isomorph sind, und \(\pi\) besteht aus Untervektorräumen von \((M,K)\). Als nächstes verfolgen die Verf. das Ziel, eine geometrische Kennzeichnung der gefaserten Inzidengruppen anzugeben, die zu den oben betrachteten algebraischen Strukturen gehören. Dazu werden mit Hilfe der Begriffe Transversale, Halbregulus und Regulus Beziehungen zwischen affinem und projektivem Regulus, Halbregulus und affinem Regulus angegeben und gezeigt: Es sei \((V,{\mathfrak G},\circ)\) eine zweiseitige linear gefaserte affine Inzidenzgruppe mit der Geradenmenge \({\mathfrak G}\), U eine Inzidenzuntergruppe und \(G\in {\ma…
Mathematics Subject Classification ID: 51J15
Mathematics Subject Classification ID: 51J20
Mathematics Subject Classification ID: 51A45
Mathematics Subject Classification ID: 51E30
Mathematics Subject Classification ID: 20D15
zbMATH DE Number: 3890255
zbMATH Keywords: groups with partitions
zbMATH Keywords: dilatations
zbMATH Keywords: affine embedded parallel structure
zbMATH Keywords: incidence groups
zbMATH Keywords: kinematic algebra
zbMATH Keywords: transversal
zbMATH Keywords: semi-regulus
zbMATH Keywords: regulus
reviewed by: Helmut Karzel
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 3890255