Zur Geometrie der Translationsstrukturen mit eigentlichen Dilatationen
(Shortened version of the original review which is available upon request). - Verf. verallgemeinern zunächst die Konstruktion einer kinematischen Algebra mit zugeordneter affiner Inzidengruppe aus gegebenem \(L\)-Vektorraum \((M,L)\): Es gelte (V) Es gibt einen Vektorraum \((M,L)\), einen Körperautomorphismus \(\gamma\) von \(L\) und eine \((\gamma,L)\)-semibilineare Abbildung \(f:M\times M\to M\) mit \((*)\quad f(x,x)=f(x,f(y,z))=0\) für \(x,y,z\in M\). Dann ist \((M,\circ)\) mit \(a\circ b=a+b+f(a,b)\) wieder eine Gruppe, die nur dann kommutativ ist, wenn f die Nullabbildung ist. Wegen \(f(a,f(b,c))=0\) ist \((M,\circ)\) von der Nilpotenzklasse \(\leq 2.\) Folgende Resultate werden vorgestellt: (1) Es sei \(T\) eine endliche Gruppe, \(\pi\) eine Partition, d.h. Faserung von \(T\), welche eine Dilatation \(\delta\) \(\neq Id\) besitzt. Dann ist T vom Primzahlexponenten p und von Nilpotenzklasse \(\leq 2\), und es gilt (V), so daß \(T\) und \((M,\circ)\) isomorph sind. \(\pi\) besteht aus Untervektorräumen von \((M,L)\), und die Dilatationen sind gegeben durch \(M\to M;\) \(x\to x\lambda\) für geeignete \(\lambda \in L^*.\) (2) Es sei T eine endliche Gruppe vom Primzahlexponenten p und der Nilpotenzklasse \(\leq 2\) und \(\pi\) eine Partition. Dann gibt es einen Vektorraum \((M,K)\) und eine bilineare Abbildung \(f:M\times M\to M\) mit (*), so daß \(T\) und \((M,\circ)\) isomorph sind, und \(\pi\) besteht aus Untervektorräumen von \((M,K)\). Als nächstes verfolgen die Verf. das Ziel, eine geometrische Kennzeichnung der gefaserten Inzidengruppen anzugeben, die zu den oben betrachteten algebraischen Strukturen gehören. Dazu werden mit Hilfe der Begriffe Transversale, Halbregulus und Regulus Beziehungen zwischen affinem und projektivem Regulus, Halbregulus und affinem Regulus angegeben und gezeigt: Es sei \((V,{\mathfrak G},\circ)\) eine zweiseitige linear gefaserte affine Inzidenzgruppe mit der Geradenmenge \({\mathfrak G}\), U eine Inzidenzuntergruppe und \(G\in {\mathfrak G}\) mit \(G\cap U=\{1\}.\) Dann ist \({\mathfrak R}:=\{Ux| x\in G\}\) ein Halbregulus mit \({\mathfrak T}=\{uG| u\in U\}.\) Sodann ({\S} 2) werden affin eingebettete Parallelstrukturen (P,\({\mathfrak S},\|)\) eines affinen Raumes \((P,{\mathfrak G})\) betrachtet, die Begriffe Orthotranslationsstruktur (OTS) und mikrozentrale OTS eingeführt und gezeigt: In (2) ist \((T,\Pi)\) eine OTS; eine mikrozentale OTS mit affiner Einbettung läßt sich algebraisch beschreiben. Ferner werden Bedingungen angegeben, wann \((P,{\mathfrak G},{\mathfrak S},\|)\) eine OTS ist und wann sie Dilatationen besitzt ({\S} 3). Abschließend ({\S} 4) werden diese Untersuchungen auf spezielle Translationsstrukturen ausgedehnt.
scientific article; zbMATH DE number 3890255