The topology of indefinite flag manifolds
Die Autoren berechnen die Bettizahlen komplexer Flaggenmannigfaltigkeiten \(F=U^ s(n)/(U^{s_ 1}(n_ 1)...U^{s_ k}(n_ k))\), \(\sum^{k}_{i=1}n_ i=n\). Dabei besteht \(U^ s(n)\) aus den linearen Abbildungen, die eine nicht ausgeartete hermitesche Form vom Index s invariant lassen. Das Problem wird zunächst auf den definiten Fall \((s=0)\) reduziert, und zwar für die allgemeinere Situation, wo man statt F (gewisse) homogene Räume G/H betrachtet, auf denen das Negative der Killing-Cartan-Form, -\(\phi\), eine Riemannsche Metrik induziert, die nur für kompaktes G positiv definit ist. Im definiten Fall treten die Flaggenmannigfaltigkeiten auf als Bahnen M der adjungierten Darstellung von U(n). Sei nun \(X\in u(n)\) und \(L: M\to {\mathbb{R}}\) definiert durch \(L(Y)=| Y-X|^ 2\), \(Y\in M\), wobei \(|...|\) durch -\(\phi\) induziert ist. Den Autoren gelingt es, die Morsetheorie für L so in den Griff zu bekommen, daß die Bettizahlen von M berechnet werden können. Dabei beschert ihnen im komplexen Fall das Morsesche Lückenprinzip statt Morsescher Ungleichungen sogar Gleichungen. Die Anwendbarkeit dieses Prinzips dürfte auch einer der Gründe dafür sein, daß - wie die Autoren schreiben - eine ähnliche Technik für quaternionische Mannigfaltigkeiten angewendet werden kann. Der reelle Fall scheint dagegen noch offen zu sein.
Betti numbers of an indefinite complex flag manifold
scientific article; zbMATH DE number 3890382