The topology of indefinite flag manifolds
type: Item
instance of: scholarly article
title: The topology of indefinite flag manifolds
zbMATH Open document ID: 0558.57018
DOI: 10.1007/BF01773373
published in: Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: Die Autoren berechnen die Bettizahlen komplexer Flaggenmannigfaltigkeiten \(F=U^ s(n)/(U^{s_ 1}(n_ 1)...U^{s_ k}(n_ k))\), \(\sum^{k}_{i=1}n_ i=n\). Dabei besteht \(U^ s(n)\) aus den linearen Abbildungen, die eine nicht ausgeartete hermitesche Form vom Index s invariant lassen. Das Problem wird zunächst auf den definiten Fall \((s=0)\) reduziert, und zwar für die allgemeinere Situation, wo man statt F (gewisse) homogene Räume G/H betrachtet, auf denen das Negative der Killing-Cartan-Form, -\(\phi\), eine Riemannsche Metrik induziert, die nur für kompaktes G positiv definit ist. Im definiten Fall treten die Flaggenmannigfaltigkeiten auf als Bahnen M der adjungierten Darstellung von U(n). Sei nun \(X\in u(n)\) und \(L: M\to {\mathbb{R}}\) definiert durch \(L(Y)=| Y-X|^ 2\), \(Y\in M\), wobei \(|...|\) durch -\(\phi\) induziert ist. Den Autoren gelingt es, die Morsetheorie für L so in den Griff zu bekommen, daß die Bettizahlen von M berechnet werden können. Dabei beschert ihnen im komplexen Fall das Morsesche Lückenprinzip statt Morsescher Ungleichungen sogar Gleichungen. Die Anwendbarkeit dieses Prinzips dürfte auch einer der Gründe dafür sein, daß - wie die Autoren schreiben - eine ähnliche Technik für quaternionische Mannigfaltigkeiten angewendet werden kann. Der reelle Fall scheint dagegen noch offen zu sein.
Mathematics Subject Classification ID: 57T15
Mathematics Subject Classification ID: 57R70
Mathematics Subject Classification ID: 53C55
Mathematics Subject Classification ID: 58E05
Mathematics Subject Classification ID: 53C50
Mathematics Subject Classification ID: 53C30
zbMATH DE Number: 3890382
zbMATH Keywords: Killing-Cartan form
zbMATH Keywords: indefinite homogeneous space
zbMATH Keywords: Betti numbers of an indefinite complex flag manifold
zbMATH Keywords: quaternion manifolds
zbMATH Keywords: Morse- inequalities
zbMATH Keywords: Hermitian manifolds
author: Manuel Barros
author: Sebastián Montiel
author: Alfonso Romero
reviewed by: Adolf Riede
MaRDI profile type: Publication
cites work: On the almost Hermitian structures on a differentiable manifold
cites work: Indefinite Kähler manifolds
cites work: Differential geometry of U(p+q+r)/U(p)xU(q)xU(r)
cites work: Applications of the Theory of Morse to Symmetric Spaces
cites work: Q5842420
cites work: A Morse function on Grassmann manifolds
cites work: Q5731354
cites work: Q5607712
cites work: Morse Theory. (AM-51)
cites work: Combinatorial homotopy. I
cites work: Q4766214
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01773373
OpenAlex ID: W2030886345
description: scientific article; zbMATH DE number 3890382