A proof of Hilbert's Nullstellensatz
Für den Hilbertschen Nullstellensatz fanden in den letzten Jahren mehrere Autoren kurze und doch mit recht einfachen Hilfsmitteln auskommende Beweise (vgl. \textit{O. Zariski} [Bull. Am. Math. Soc. 53, 362--368 (1947; Zbl 0032.26001)]; \textit{R. Brauer} [Bull. Am. Math. Soc. 54, 894--896 (1948; Zbl 0032.26002)]; \textit{G. Ancochea} [Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser. 29, 31--34 (1949; Zbl 0036.29801)]). Dabei wird meist die bekannte Reduktion von Rabinowitsch auf folgenden Satz 1 benutzt: Wenn die Polynome \(f_1,\ldots,f_r\) aus dem Polynomring \(K[x_1,\ldots,x_n]\) über einem Körper \(K\) im algebraischen Abschluß \(\overline K\) keine gemeinsame Nullstelle besitzen, so ist \(\sum f_i g_i = 1\) für gewisse \(g_i\in K[x_1,\ldots,x_n]\). Verf. gibt für diesen Satz einen besonders kurzen und organischen Beweis, der sehr wenig Körpertheorie und keine Eliminations- oder Idealtheorie (allerdings einen einfachen Satz über algebraische Funktionen) verwendet. Die Methode liefert auch Schranken für den Grad der \(g_i\). (Hierzu sei bemerkt, daß sich der Beweis von Satz~4 beträchtlich abkürzen läßt, indem man im Falle eines endlichen \(K\) zunächst \(\overline K\) zugrunde legt und dann ähnlich wie beim Beweis von Satz 1 zu \(K\) zurückkehrt.) Ferner stellt Verf. ein in gewissem Sinne zu Satz 1 duales, multiplikatives Kriterium für die Existenz einer gemeinsamen Nullstelle auf (Satz 5). Schließlich wird die Anzahl der benötigten \(g_i\ne 0\) abgeschätzt, woraus sich für die \glqq Hellysche Dimension\grqq{} \(r_0 -1\) der Familie der Hyperflächen \(d\)-ten Grades im \(n\)-dimensionalen affinen oder projektiven Raum die Abschätzung \(r_0\le \binom{n+d}{n}\) ergibt, mit Gleichheit im reellen oder komplexen Fall. Dabei ist \(r_0\) für eine Familie von Punktmengen erklärt als die kleinste natürliche Zahl derart, daß jede Teilfamilie mit leerem Durchschnitt ihrerseits eine Teilfamilie mit leerem Durchschnitt enthält, die aus höchstens \(r_0\) Punktmengen besteht.
scientific article; zbMATH DE number 3115923