Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen in drei oder mehr Veränderlichen
Verf. beweist im ersten Teil den Satz, daß zwei indefinite spinorverwandte quadratische Formen in \(n\geq 3\) Veränderlichen mit Koeffizienten in einem endlich algebraischen Zahlkörper äquivalent sind. Er stützt sich hierbei auf Vorarbeiten des Ref. [Math. Z. 55, 216--252 (1952; Zbl 0049.31201)], in welchen der Satz unter gewissen Voraussetzungen, z. B. für den rationalen Zahlkörper bewiesen wird. Er gibt diesen Vorarbeiten jedoch eine neue Wendung und ermöglicht dadurch erhebliche Vereinfachungen. Diese stützen sich vor allem auf zwei Umstände: 1. Der Beweis wird im Falle \(n = 3\) mittels der Arithmetik der Quaternionen-Algebren geführt und dann durch vollständige Induktion auf die Fälle \(n > 3\) übertragen. 2. Es werden schärfere Begriffe für Äquivalenz, Verwandtschaft und Spinorverwandtschaft benutzt: zwei Gitter \(\mathfrak I, \mathfrak K\) in einem Raum \(R\) heißen äquivalent, wenn es einen Automorphismus \(u\) von \(R\) so gibt, daß \(\mathfrak K=u\mathfrak I\) ist; sie heißen verwandt, wenn es für jede endliche Primstelle \(\mathfrak p\) einen Automorphismus \(u_{\mathfrak p}\) von \(R_{\mathfrak p}\), so gibt, daß \(\mathfrak K_{\mathfrak p} = u_{\mathfrak p}\mathfrak I_{\mathfrak p}\) ist; sie heißen endlich spinorverwandt, wenn es einen eigentlichen Automorphismus \(w\) von \(R\) und eigentliche Automorphismen der Spinornorm 1 \(v_{\mathfrak p}\) von \(R_{\mathfrak p}\) so gibt, daß \(\mathfrak K_{\mathfrak p} = v_{\mathfrak p} w \mathfrak I_{\mathfrak p}\) ist. (Zu den Verhältnissen zwischen diesen Begriffen und den gleichlautenden in der Theorie der quadratischen Formen einerseits und den vom Ref. gebrauchten andererseits s. \S 4). Im zweiten Teil wird die Anzahl der Spinorgeschlechter in einem Geschlecht von Gittern beliebiger Dimension durch Gruppenindizes ausgedrückt. Das Resultat läßt sich wie folgt ausdrücken. \(A\) sei eine Menge von Primidealen, welche erstens alle Teiler der reduzierten Determinante eines Gitters \(\mathfrak I\) enthält und zweitens so groß ist, daß zu einem Idel (im Sinne von C. Chevalley) \((\kappa_{\mathfrak p})\) ein Automorphismus \(u\) des Raumes \(R\) gehört derart, daß mit der Spinornorm \(t(u)\) (d. h. man möge aus der Quadratklasse \(t(u)\) ein ebenso bezeichnetes Element auswählen können) die Produkte \(\kappa_{\mathfrak p} t(u)\) für alle \(\mathfrak p\neq A\) \(\mathfrak p\)-adische Einheiten sind. Man bezeichne nun mit \(k_{\mathfrak p}^*\) die Multiplikationsgruppe von \(k_{\mathfrak p}\), mit \(k^{**}\) die Multiplikationsgruppe der Spinornormen der eigentlichen Automorphismen von \(R\), endlich mit \(s_{\mathfrak p}(\mathfrak I)\) die Gruppe der Spinornormen aller eigentlichen automorphen Einheiten der \(\mathfrak p\)-adischen Erweiterungen eines Gitters \(\mathfrak I\). Dann ist die Anzahl \(h\) der Spinorgeschlechter, dem ein gegebenes Gitter \(\mathfrak I\) angehört, \[ h=[P_A(k_{\mathfrak p}^*): P_A(k_{\mathfrak p}^{**}) P_A(s_{\mathfrak p}(\mathfrak I))], \] wo folgende Abkürzungen gelten: \(P_A(k_{\mathfrak p}^*)\) ist das direkte Produkt der Gruppen \(k_{\mathfrak p}^*\) für alle \(\mathfrak p\in A\) und entsprechend \(P_A(s_{\mathfrak p}(\mathfrak I))\) das direkte Produkt der \(s_{\mathfrak p}(\mathfrak I)\); \(P_A(k_{\mathfrak p}^{**})\) die Untergruppe von \(P_A(k_{\mathfrak p}^*)\), deren sämtliche Faktoren gleich einem Element aus \(k^{**}\) sind. Es ergibt sich aus dieser Formel, daß diese Anzahl eine Potenz von 2 ist. Daneben wird gezeigt, daß es Geschlechter gibt, welche in eine beliebige Zweierpotenz von Spinorgeschlechtern zerfallen. Die Gruppe \(s_{\mathfrak p}(\mathfrak I)\) wird für ein ungerades \(\mathfrak p\) bestimmt. Man schreibe \(\mathfrak I_{\mathfrak p}\) als direkte Summe \(\mathfrak I_{\mathfrak p}= \mathfrak I_1+\ldots+ \mathfrak I_r\), von Teilgittern möglichst großer Dimension und reduzierter Determinante 1. Es sei \(M_i\), die Menge aller Zahlen \(f(i)\), \(i\in\mathfrak I_i\) \((f\) die metrische Fundamentalform), welche nicht durch \(\mathfrak p\, n (\mathfrak I_i)= \) Norm von \(\mathfrak I_i)\) teilbar sind. Ferner sei \(M_{\mathfrak p}(\mathfrak I)\) die Menge der Zahlen, die sich als Produkte einer geraden Anzahl von Faktoren aus irgendwelchen (gleichen oder verschiedenen) \(M_i\) darstellen lassen. Dann ist \(s_{\mathfrak p}(\mathfrak I)=M_{\mathfrak p}(\mathfrak I) k_{\mathfrak p}^{*2}\). Als eine Anwendung auf den Problemkreis des Meyerschen Satzes sei noch das folgende Resultat hervorgehoben: \(\mathfrak I\) sei ein Gitter in einem indefiniten Raum der Dimension \(n\geq 3\) über dem Ring der ganzen rationalen Zahlen; die reduzierte Determinante der metrischen Fundamentalform von \(\mathfrak I\) sei \(\prod_p p^{s_p}\). Ist \(s_2 < n(n-1)/2 + [(n+1)/2]\) und \(s_p< n(n-1)/2\) für ungerades \(p\), so gehört \(\mathfrak I\) einem einklassigen Geschlecht an. Die von \textit{A. Meyer} im [J. Reine Angew. Math. 113, 186--206 (1894; JFM 25.0317.02); 116, 307--325 (1896; JFM 27.0167.03)] angegebene Formel für die Klassenzahl in einem Geschlecht indefiniter ternärer quadratischer Formen erweist sich als fehlerhaft.
quadratic forms of more than three variables
scientific article; zbMATH DE number 3119392