Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen in drei oder mehr Veränderlichen
type: Item
instance of: scholarly article
title: Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen in drei oder mehr Veränderlichen
zbMATH Open document ID: 0071.27205
DOI: 10.1007/BF01900681
published in: Archiv der Mathematik
publication date: 1956-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. beweist im ersten Teil den Satz, daß zwei indefinite spinorverwandte quadratische Formen in \(n\geq 3\) Veränderlichen mit Koeffizienten in einem endlich algebraischen Zahlkörper äquivalent sind. Er stützt sich hierbei auf Vorarbeiten des Ref. [Math. Z. 55, 216--252 (1952; Zbl 0049.31201)], in welchen der Satz unter gewissen Voraussetzungen, z. B. für den rationalen Zahlkörper bewiesen wird. Er gibt diesen Vorarbeiten jedoch eine neue Wendung und ermöglicht dadurch erhebliche Vereinfachungen. Diese stützen sich vor allem auf zwei Umstände: 1. Der Beweis wird im Falle \(n = 3\) mittels der Arithmetik der Quaternionen-Algebren geführt und dann durch vollständige Induktion auf die Fälle \(n > 3\) übertragen. 2. Es werden schärfere Begriffe für Äquivalenz, Verwandtschaft und Spinorverwandtschaft benutzt: zwei Gitter \(\mathfrak I, \mathfrak K\) in einem Raum \(R\) heißen äquivalent, wenn es einen Automorphismus \(u\) von \(R\) so gibt, daß \(\mathfrak K=u\mathfrak I\) ist; sie heißen verwandt, wenn es für jede endliche Primstelle \(\mathfrak p\) einen Automorphismus \(u_{\mathfrak p}\) von \(R_{\mathfrak p}\), so gibt, daß \(\mathfrak K_{\mathfrak p} = u_{\mathfrak p}\mathfrak I_{\mathfrak p}\) ist; sie heißen endlich spinorverwandt, wenn es einen eigentlichen Automorphismus \(w\) von \(R\) und eigentliche Automorphismen der Spinornorm 1 \(v_{\mathfrak p}\) von \(R_{\mathfrak p}\) so gibt, daß \(\mathfrak K_{\mathfrak p} = v_{\mathfrak p} w \mathfrak I_{\mathfrak p}\) ist. (Zu den Verhältnissen zwischen diesen Begriffen und den gleichlautenden in der Theorie der quadratischen Formen einerseits und den vom Ref. gebrauchten andererseits s. \S 4). Im zweiten Teil wird die Anzahl der Spinorgeschlechter in einem Geschlecht von Gittern beliebiger Dimension durch Gruppenindizes ausgedrückt. Das Resultat läßt sich wie folgt ausdrücken. \(A\) sei eine Menge von Primidealen, welche erstens alle Teiler der reduzierten Determinante eines Gitters \(\mathfrak I\) enthält und zw…
Mathematics Subject Classification ID: 11E41
Mathematics Subject Classification ID: 11E20
zbMATH DE Number: 3119392
zbMATH Keywords: class numbers
zbMATH Keywords: indefinite quadratic forms
zbMATH Keywords: ternary quadratic forms
zbMATH Keywords: quadratic forms of more than three variables
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q5816776
cites work: Die Ähnlichkeitsklassen indefiniter Gitter
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cites work: A Proof of a Theorem of Meyer on Indefinite Ternary Quadratic Forms
cites work: Orthogonale Gruppen über algebraischen Zahlkörpern.
author: Martin Kneser
description: scientific article; zbMATH DE number 3119392