On ideals in multidifferential polynomial rings
type: Item
instance of: scholarly article
title: On ideals in multidifferential polynomial rings
zbMATH Open document ID: 0075.02601
DOI: 10.1007/BF01360044
author: Frank Levin
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1956-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/160521
review text: Verf. verallgemeinert verschiedene Resultate von Ore über den Ring der gewöhnlichen Differentialpolynome über einem Körper der Charakteristik Null auf den Fall von Multidifferentialpolynomen. Eine Multidifferentiation \(\theta\) in einem Körper \(F\) der Charakteristik Null ist gegeben durch ein System von \(n\) Derivationen \(D_i\) von \(F\) in sich, die paarweise vertauschbar sind. \(\theta\) heißt regulär, wenn die \(D_i\) über \(F\) linear unabhängig sind. Mit \(n\) unabhängigen Unbestimmten \(Y_i\) bildet man den Ring \(\Omega\) der Multidifferentialpolynome \[ \sum_{t_1,\dots,t_n} Y_1^{t_1}\cdots Y_n^{t_n}\cdot a_{t_1,\dots,t_n},~a_{t_1,\dots,t_n}\in F, \] wobei die Addition in gewöhnlicher Weise und die Multiplikation durch das assoziative und distributive Gesetz und durch \(a\cdot Y_i=Y_i\cdot a + (a)D_i\) erklärt wird. Die Abbildung von \(\Omega\) in den Endomorphismenring der additiven Gruppe von \(F\), die durch das Ersetzen der \(Y_i\) durch die \(D_i\) erklärt wird, ist dann eine Darstellung von \(\Omega\). Für jedes Rechtsideal wird in kanonischer Weise eine endliche Basis konstruiert. Daraus ergibt sich eine notwendige und hinreichende Bedingung, wann ein Rechtsideal Hauptideal ist. \(\Omega\) ist genau dann einfach, wenn \(\theta\) regulär ist. Es werden dann Beispiele für maximale Rechtsideale angegeben, z.B. das von den \(n\) Polynomen \(Y_i-a^{-1}\cdot(a)D_i\) für ein \(a\neq O\), \(a\in F\), erzeugte Rechtsideal \(\Sigma_a\). Ein Element \(a\neq O\), \(a\in F\), ist genau dann Lösung der ``Differentialgleichung'' \((z)A = b\), \(A\in\Omega\), \(b\in F\), wenn gilt \(A\equiv b/a\pmod\Sigma_a\). Zu einem \(A\in\Omega\) wird die Adjungierte \(A^*\) definiert und gezeigt, daß die Abbildung \(A\to A^*\) ein Antiautomorphismus von \(\Omega\) ist. Das rechtfertigt die Beschränkung der Betrachtungen auf Rechtsideale. Ein Rechtsideal \(\Sigma\) heißt ähnlich einem Rechtsideal \(\Sigma'\), wenn es ein \(C\in\Omega\) gibt, so daß gilt \(C\cdot\Omega+\Sigma'…
Mathematics Subject Classification ID: 13N10
zbMATH DE Number: 3124864
zbMATH Keywords: multidifferential polynomial rings
reviewed by: Robert W. Berger
MaRDI profile type: Publication
cites work: Partielle Differentialgleichungen in Körpern von Primzahlcharakteristik
cites work: A representation of multidifferential polynomials in fields of prime characteristic
cites work: Formale Theorie der linearen Differentialgleichungen. (Erster Teil).
cites work: Theory of non-commutative polynomials
OpenAlex ID: W1973878417
description: scientific article; zbMATH DE number 3124864