On ideals in multidifferential polynomial rings
Verf. verallgemeinert verschiedene Resultate von Ore über den Ring der gewöhnlichen Differentialpolynome über einem Körper der Charakteristik Null auf den Fall von Multidifferentialpolynomen. Eine Multidifferentiation \(\theta\) in einem Körper \(F\) der Charakteristik Null ist gegeben durch ein System von \(n\) Derivationen \(D_i\) von \(F\) in sich, die paarweise vertauschbar sind. \(\theta\) heißt regulär, wenn die \(D_i\) über \(F\) linear unabhängig sind. Mit \(n\) unabhängigen Unbestimmten \(Y_i\) bildet man den Ring \(\Omega\) der Multidifferentialpolynome \[ \sum_{t_1,\dots,t_n} Y_1^{t_1}\cdots Y_n^{t_n}\cdot a_{t_1,\dots,t_n},~a_{t_1,\dots,t_n}\in F, \] wobei die Addition in gewöhnlicher Weise und die Multiplikation durch das assoziative und distributive Gesetz und durch \(a\cdot Y_i=Y_i\cdot a + (a)D_i\) erklärt wird. Die Abbildung von \(\Omega\) in den Endomorphismenring der additiven Gruppe von \(F\), die durch das Ersetzen der \(Y_i\) durch die \(D_i\) erklärt wird, ist dann eine Darstellung von \(\Omega\). Für jedes Rechtsideal wird in kanonischer Weise eine endliche Basis konstruiert. Daraus ergibt sich eine notwendige und hinreichende Bedingung, wann ein Rechtsideal Hauptideal ist. \(\Omega\) ist genau dann einfach, wenn \(\theta\) regulär ist. Es werden dann Beispiele für maximale Rechtsideale angegeben, z.B. das von den \(n\) Polynomen \(Y_i-a^{-1}\cdot(a)D_i\) für ein \(a\neq O\), \(a\in F\), erzeugte Rechtsideal \(\Sigma_a\). Ein Element \(a\neq O\), \(a\in F\), ist genau dann Lösung der ``Differentialgleichung'' \((z)A = b\), \(A\in\Omega\), \(b\in F\), wenn gilt \(A\equiv b/a\pmod\Sigma_a\). Zu einem \(A\in\Omega\) wird die Adjungierte \(A^*\) definiert und gezeigt, daß die Abbildung \(A\to A^*\) ein Antiautomorphismus von \(\Omega\) ist. Das rechtfertigt die Beschränkung der Betrachtungen auf Rechtsideale. Ein Rechtsideal \(\Sigma\) heißt ähnlich einem Rechtsideal \(\Sigma'\), wenn es ein \(C\in\Omega\) gibt, so daß gilt \(C\cdot\Omega+\Sigma'=\Omega\) und \(C\cdot\Omega\cap\Sigma' = C\cdot\Sigma\). Das ist eine Äquivalenzrelation zwischen den Rechtsidealen. In einer Darstellung eines Rechtsideals als endlicher Durchschnitt von maximalen Rechtsidealen ist jedes Rechtsideal der einen Darstellung einem der anderen ähnlich. Zum Abschluß wird über eine allgemeinere Ähnlichkeit berichtet, in der \(C\cdot\Omega+\Sigma' =\Omega\) durch \(C\notin\Omega\) ersetzt wird.
scientific article; zbMATH DE number 3124864