On binary quadratic forms
type: Item
instance of: scholarly article
title: On binary quadratic forms
zbMATH Open document ID: 0077.05306
DOI: 10.1007/BF01186615
author: Božidar Djerasimović
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1957-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/169637
review text: Verf. (vgl., insbes. der Bezeichnungen wegen [Math. Z. 62, 320--329 (1955; Zbl 0064.28602); 66, 228--239 (1956; Zbl 0072.03902)]) benutzt die regelmäßigen Kettenbrüche, um bei der Untersuchung der Eigenschaften von binären quadratischen Formen vollständigere Resultate zu erhalten. Zuerst wird in I der Begriff der Normalform für quadratische Irrationalzahlen eingeführt. \((\sqrt{D}+P)/Q\), wobei \(D > 0\), \(P\) und \(Q\) ganze Zahlen sind und \(D\) kein Quadrat ist, hat die Normalform, wenn \((D - P^2)/Q = Q_{-1}\) eine ganze Zahl ist und wenn \((Q; P; Q_{-1}) = 1\) ist. In II werden folgende Hauptsätze mit Hilfe der regelmäßigen Kettenbrüche bewiesen: Satz 1: Die ganzen Zahlen \(\delta\) und \(-\delta\) \((\delta > 0)\) oder nur eine von ihnen können dann und nur dann in der Gestalt der quadratischen Form \(f(x, y) = \alpha x^2 + 2\beta xy + \gamma y^2\) mit \(\alpha,\beta,\gamma\) ganz, \(\alpha; \beta;\gamma) = 1\), \(D = \beta^2 > 0\) und kein Quadrat, für teilerfremde ganzzahlige Werte der Veränderlichen \(x\) und \(y\) dargestellt werden, wenn \(\delta\) der Nenner der Normalform einer quadratischen Irrationalzahl ist, die äquivalent einer der Wurzeln der Gleichung \(f(\xi,1)\) ist. Satz 2: Wenn die Diophantische Gleichung \(f(x, y) = \alpha x^2 + 2\beta xy + \gamma y^2 = \pm \delta\) unter den gleichen Voraussetzungen über \(\alpha,\beta,\gamma\) wie bei Satz 1 eine Lösung \(x_0/y_0 = (Z_0)\) besitzt, dann hat sie unendlich viele Lösungen und zwar \(x_\nu/y_\nu = (Z_\nu)\) für \(\nu = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots\) mit \(Z_\nu = B A^{\nu - 1}N\); \(Z_{-\nu} = C \underline{A}^{\nu - 1}M\), wobei für jedes ganzzahlige \(\nu\) gilt: \(f(Z_\nu) = (-1)^{m\nu} f(Z_0)\). Satz 3 gibt über die Anzahl der Lösungssysteme der Diophantischen Gleichung \(f(x, y) = \alpha x^2 + 2\beta xy + \gamma y^2 = \pm \delta\) Aufschluß. Die Anzahl der Lösungssysteme ist durch die Zahl der Wurzelpaare \(p, -p\) der Kongruenz \(p^2\equiv D\pmod \delta\) bestimmt, die die Eigenschaft besi…
Mathematics Subject Classification ID: 11D09
Mathematics Subject Classification ID: 11E16
Mathematics Subject Classification ID: 11A55
zbMATH DE Number: 3125812
zbMATH Keywords: binary quadratic forms
zbMATH Keywords: systems of solution
zbMATH Keywords: Diophantine equations
zbMATH Keywords: continued fraction expansion
MaRDI profile type: Publication
cites work: Beitrag zur Theorie der regelmäßigen Kettenbrüche
cites work: Über die Kettenbruchentwicklung quadratischer Irrationalzahlen
cites work: Q5828139
OpenAlex ID: W119211758
description: scientific article; zbMATH DE number 3125812