Zyklische Erweiterungen arithmetischer Funktionenkörper
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zyklische Erweiterungen arithmetischer Funktionenkörper
zbMATH Open document ID: 0107.03402
DOI: 10.1007/BF01180186
author: Erich Lamprecht
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1961-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/169998
review text: Es sei \(K/k\) ein arithmetischer Funktionenörper, d. h. ein algebraischer Funktionenkörper in einer Veränderlichen über einem algebraischen Zahlkörper \(k\) als Konstantenkörper. Als Grundaufgabe der Klassenkörpertheorie für \(K\) kann die Charakterisierung der Abelschen Erweiterungen \(L\) von \(K\) durch arithmetische Gruppen des Körpers \(K\) angesehen werden. In der vorliegenden Arbeit soil ein kleiner Beitrag zu dieser Fragestellung gegeben werden, wobei zur Vereinfachung der Darstellung an einigen Stellen die folgenden einschränkenden Voraussetzungen gemacht werden: a) \(K\) ist ein rationaler Funktionenkörper, und \(k\) ist der rationale Zahlkörper; b) \(L/K\) ist zyklisch, insbesondere vom Primzahlgrad. Speziell enthalten die Ergebnisse des Verf. also einen Beitrag zur Charakterisierung der zyklischen Erweiterungen eines rationalen Funktionenkörpers über dem rationalen Zahlkörper; dies verallgemeinert den Kroneckerschen Satz über die Charakterisierung der abelschen Erweiterungen des rationalen Zahlkörpers. Es werden die folgenden Überlegungen und Hilfsmittel herangezogen: 1. Jeder abelschen Erweiterung \(L\) von \(K\) werden vermöge der endlichen Primstellen \(p\) von \(k\) ,,lokale'' abelsche Erweiterungen \(\overline L\) von Kongruenzfunktionenkörpern \(K\) (von Primzahlcharakteristik) zugeordnet; dies gestattet es, Ergebnisse aus der algebraischen Zahlentheorie und aus der Klassenkörpertheorie der Kongruenzfunktionenkörper bei den Untersuchungen zu verwenden. 2. Al -Erzeugende der arithmetischen Gruppen, mit denen die abelschen Erweiterungen charakterisiert werden, wählt Verf. ein geeignetes System von diskreten Krullschen Bewertungen vom Range 2; die Restklassenkörper dieser Primdivisoren sind endliche Körper, so daß also nach dem üblichen Schema die Frobenius-Automorphismen erklärt werden können. Diese Bewertungen entsprechen den primen rationalen Zyklen in den Untersuchungen von \textit{S. Lang} [Ann. Math. (2) 64, 285--325 (1956; Zbl 0089.26201); Bul…
reviewed by: Peter Roquette
Mathematics Subject Classification ID: 11R58
Mathematics Subject Classification ID: 11R37
zbMATH DE Number: 3174542
zbMATH Keywords: arithmetic function fields
zbMATH Keywords: algebraic function fields
zbMATH Keywords: cyclic extensions
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 3174542