Zyklische Erweiterungen arithmetischer Funktionenkörper
Es sei \(K/k\) ein arithmetischer Funktionenörper, d. h. ein algebraischer Funktionenkörper in einer Veränderlichen über einem algebraischen Zahlkörper \(k\) als Konstantenkörper. Als Grundaufgabe der Klassenkörpertheorie für \(K\) kann die Charakterisierung der Abelschen Erweiterungen \(L\) von \(K\) durch arithmetische Gruppen des Körpers \(K\) angesehen werden. In der vorliegenden Arbeit soil ein kleiner Beitrag zu dieser Fragestellung gegeben werden, wobei zur Vereinfachung der Darstellung an einigen Stellen die folgenden einschränkenden Voraussetzungen gemacht werden: a) \(K\) ist ein rationaler Funktionenkörper, und \(k\) ist der rationale Zahlkörper; b) \(L/K\) ist zyklisch, insbesondere vom Primzahlgrad. Speziell enthalten die Ergebnisse des Verf. also einen Beitrag zur Charakterisierung der zyklischen Erweiterungen eines rationalen Funktionenkörpers über dem rationalen Zahlkörper; dies verallgemeinert den Kroneckerschen Satz über die Charakterisierung der abelschen Erweiterungen des rationalen Zahlkörpers. Es werden die folgenden Überlegungen und Hilfsmittel herangezogen: 1. Jeder abelschen Erweiterung \(L\) von \(K\) werden vermöge der endlichen Primstellen \(p\) von \(k\) ,,lokale'' abelsche Erweiterungen \(\overline L\) von Kongruenzfunktionenkörpern \(K\) (von Primzahlcharakteristik) zugeordnet; dies gestattet es, Ergebnisse aus der algebraischen Zahlentheorie und aus der Klassenkörpertheorie der Kongruenzfunktionenkörper bei den Untersuchungen zu verwenden. 2. Al -Erzeugende der arithmetischen Gruppen, mit denen die abelschen Erweiterungen charakterisiert werden, wählt Verf. ein geeignetes System von diskreten Krullschen Bewertungen vom Range 2; die Restklassenkörper dieser Primdivisoren sind endliche Körper, so daß also nach dem üblichen Schema die Frobenius-Automorphismen erklärt werden können. Diese Bewertungen entsprechen den primen rationalen Zyklen in den Untersuchungen von \textit{S. Lang} [Ann. Math. (2) 64, 285--325 (1956; Zbl 0089.26201); Bull. Soc. Math. Fr. 84, 385--407 (1956; Zbl 0089.26301)] und \textit{J.-P. Serre} [Groupes algébriques et corps de classes. Paris: Hermann (1959; Zbl 0097.35604)]. 3. Der Ansatz des Verf. lehnt sich stark an den aus der klassischen Theorie bekannten Gedanken der Kongruenzeinteilung nach einem ,,Führer'', der aus den verzweigten Primdivisoren zusammengesetzt ist, an. Demzufolge sind in seinen Ergebnissen Aussagen über Verzweigungen enthalten. Der ,,geometrische Führer'' \(\mathfrak f(L/K)\) wird definiert als die Summe der in \(L\) verzweigten Primdivisoren \(\mathfrak p\) von \(K/k\). Wenn \(K = k(x)\), so betrachte man die von dem Pol \(\mathfrak p_\infty\) von \(x\) verschiedenen Primteiler \(\mathfrak p_i\), des Führers und bezeichne mit \(f_i(x)\) ein zugehöriges irreduzibles Polynom, welches ganzzahlig und vom Inhalt 1 normiert werden kann. Sei \(f(x)\) das Produkt dieser \(f_i(x)\). Der Zerfällungskörper \(N\) von \(f(x)\) über \(k\) heißt der Führernormalkörper von \(L/K\). Ein Ergebnis des Verf. lautet, daß unter der Voraussetzung a) der Führernormalkörper einer zyklischen Erweiterung \(n\)-ten Grades stets die \(n\)-ten Einheitswurzeln enthüalt; dies ist eine sehr einschränkende Bedingung für die möglichen geometrischen Führer \(\mathfrak f(L/K)\). Ein anderes Ergebnis ist das folgende: Sei \(q>2\) eine Primzahl und \(\mathfrak f\) der geometrische Zählerdivisor des \(q\)-ten Kreisteilungspolynoms in \(K = k(x)\); damn gibt es unter der Voraussetzung a) stets geometrische zyklische Erweiterungen \(q\)-ten Grades \(L\) von \(K\), die \(\mathfrak f\) als genauen geometrischen Führer besitzen. Dabei heißt \(L/K\) geometrisch, wenn \(k\) der Konstantenkörper von \(L\) ist, d. h. wenn \(L\) keine echte Konstantenerweiterung von \(K\) enthält.
scientific article; zbMATH DE number 3174542
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