Noetherian local rings with Buchsbaum associated graded rings
type: Item
instance of: scholarly article
title: Noetherian local rings with Buchsbaum associated graded rings
zbMATH Open document ID: 0532.13011
DOI: 10.1016/0021-8693(84)90037-1
author: Shiro Goto
published in: Journal of Algebra
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: Soient A un anneau local noethérien d'idéal maximal m et \(d=\dim A\), \(K=A/m\). On dit que A est un anneau de Buchsbaum si pour tout idéal q engendré par un système de paramètres de A la différence \(I(A)=\ell_ A(A/q)-e_ A(q)\) ne dépend pas de q, où \(\ell_ A(A/q)\) est la longueur du A-module A/q et \(e_ A(q)\) est la multiplicité de A relativement à q. Soient \(G=\oplus_{n\geq 0}m^ n/m^{n+1},\) l'anneau gradué associé à l'anneau A et M l'idéal irrélevant maximal de G, \(M=G_+\). On note \(H^ i_ m(A)\) les groupes de cohomologie locale de A. Si A est un anneau de Buchsbaum \(H^ i_ M(A)\) sont des espaces vectorielles sur K et on note \(h^ i(A)=\dim_ KH^ i_ m(A).\) L'A. donne des conditions dans lesquelles si \(G_ M\) est un anneau de Buchsbaum on en conclut que A est un anneau de Buchsbaum. Les résultats principaux sont les suivants: Théorème (1.1). Soit \([H^ i_ M(G)]_ n\) (\(n\in {\mathbb{Z}})\) la composante homogène de degré n du G-module \(H^ i_ M(G)\) et on suppose qu'il existe un entier r tel que \([H^ i_ M]_ n=(0)\) (\(n\neq r-1-i,r-i)\) pour tout \(0\leq i<d\) et \([H^ d_ M(G)]_ n=0\) (\(n\geq r-d)\). Alors A est un anneau de Buchsbaum si \(G_ M\) est un anneau de Buchsbaum. De plus on a \(h^ i(G_ M)=h^ i(A) (0\leq i<d)\) dans ce cas. Supposons qu'il existe un anneau local noethérien régulier R d'idéal maximal n et I un idéal de R tels que \(A=R/I\). De plus, on suppose qu'il existe un idéal q de A engendré par un système de paramètres tel que \(m^{n+1}=qm^ n\) pour un nombre entier \(n\geq 0\). Alors l'A. démontre le théorème suivant: Théorème (1.3). Soit r un nombre entier, tel que \(I\subseteq n^{r+1}\). Alors les condition suivantes sont équivalentes: (1) \(H^ i_ M(G)=[H^ i_ M(G)]_{r-i}\) pour \(0\leq i<d\) et \([H^ d_ M(G)]_ n=0 (n>r-d)\); (2) (a) A est un anneau de Buchsbaum, (b) \(m^{r+1}=qm^ r\) et (c) \(qm^ n=qm^{n-1}\), pour 3\(\leq n\leq r\). Si ces conditions sont satisfaites, l'anneau local \(G_ M\) est un anneau de Buchsbaum et la série de…
reviewed by: Nicolae Radu
Mathematics Subject Classification ID: 13H10
Mathematics Subject Classification ID: 13H15
Mathematics Subject Classification ID: 13A15
Mathematics Subject Classification ID: 14B15
zbMATH DE Number: 3843885
zbMATH Keywords: local cohomology
zbMATH Keywords: Buchsbaum ring
zbMATH Keywords: Hilbert Samuel series
zbMATH Keywords: associated graded ring
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0021-8693(84)90037-1
OpenAlex ID: W2085856089
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description: scientific article; zbMATH DE number 3843885