Noetherian local rings with Buchsbaum associated graded rings
Soient A un anneau local noethérien d'idéal maximal m et \(d=\dim A\), \(K=A/m\). On dit que A est un anneau de Buchsbaum si pour tout idéal q engendré par un système de paramètres de A la différence \(I(A)=\ell_ A(A/q)-e_ A(q)\) ne dépend pas de q, où \(\ell_ A(A/q)\) est la longueur du A-module A/q et \(e_ A(q)\) est la multiplicité de A relativement à q. Soient \(G=\oplus_{n\geq 0}m^ n/m^{n+1},\) l'anneau gradué associé à l'anneau A et M l'idéal irrélevant maximal de G, \(M=G_+\). On note \(H^ i_ m(A)\) les groupes de cohomologie locale de A. Si A est un anneau de Buchsbaum \(H^ i_ M(A)\) sont des espaces vectorielles sur K et on note \(h^ i(A)=\dim_ KH^ i_ m(A).\) L'A. donne des conditions dans lesquelles si \(G_ M\) est un anneau de Buchsbaum on en conclut que A est un anneau de Buchsbaum. Les résultats principaux sont les suivants: Théorème (1.1). Soit \([H^ i_ M(G)]_ n\) (\(n\in {\mathbb{Z}})\) la composante homogène de degré n du G-module \(H^ i_ M(G)\) et on suppose qu'il existe un entier r tel que \([H^ i_ M]_ n=(0)\) (\(n\neq r-1-i,r-i)\) pour tout \(0\leq i<d\) et \([H^ d_ M(G)]_ n=0\) (\(n\geq r-d)\). Alors A est un anneau de Buchsbaum si \(G_ M\) est un anneau de Buchsbaum. De plus on a \(h^ i(G_ M)=h^ i(A) (0\leq i<d)\) dans ce cas. Supposons qu'il existe un anneau local noethérien régulier R d'idéal maximal n et I un idéal de R tels que \(A=R/I\). De plus, on suppose qu'il existe un idéal q de A engendré par un système de paramètres tel que \(m^{n+1}=qm^ n\) pour un nombre entier \(n\geq 0\). Alors l'A. démontre le théorème suivant: Théorème (1.3). Soit r un nombre entier, tel que \(I\subseteq n^{r+1}\). Alors les condition suivantes sont équivalentes: (1) \(H^ i_ M(G)=[H^ i_ M(G)]_{r-i}\) pour \(0\leq i<d\) et \([H^ d_ M(G)]_ n=0 (n>r-d)\); (2) (a) A est un anneau de Buchsbaum, (b) \(m^{r+1}=qm^ r\) et (c) \(qm^ n=qm^{n-1}\), pour 3\(\leq n\leq r\). Si ces conditions sont satisfaites, l'anneau local \(G_ M\) est un anneau de Buchsbaum et la série de Hilbert-Samuel \[ \begin{multlined} H(A,t)=\sum^\infty_{n=0}(\dim m^ n/m^{n+1})t^ n= \\ =\frac{1}{(1-t)^ d}[\sum^{r}_{i=0}\binom{v-d-1+b}{i}t^ i+ \sum^{r+d}_{i=r+1} (-1)^{i+r} \{\sum^{r+d- i}_{j=0}\binom{d}{i+j-r} h^ j(A)\}t^ i]. \end{multlined} \] En particulier si on suppose \(I\subseteq m^ 3\) et \(m^ 3=qm^ 2\), alors A est un anneau de Buchsbaum si et seulement si \(G_ M\) est un anneau de Buchsbaum.
scientific article; zbMATH DE number 3843885
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