Multiplicative infinite loop space theory
type: Item
instance of: scholarly article
title: Multiplicative infinite loop space theory
zbMATH Open document ID: 0532.55013
DOI: 10.1016/0022-4049(82)90029-9
published in: Journal of Pure and Applied Algebra
publication date: 1982-01-01T00:00:00Z
review text: Die Arbeit faßt die bestehende Literatur über die Grundlagen der Theorie der multiplikativen unendlichen Schleifenräume in übersichtlicher Weise zusammen und leistet damit auch einen Beitrag zu ihrer Vereinheitlichung. Bislang gab es zwei wesentlich verschiedene Zugänge zu dieser Theorie. Der ältere beruht auf der Basis der Operad-Paare des Autors \([E_\infty\) ring spaces and \(E_\infty\) ring spectra, Lect. Notes Math. 577 (1977; Zbl 0345.55007], der zweite, von \textit{R. Woolfson} [Q. J. Math., Oxf. II. Ser. 30, 229-255 (1979; Zbl 0411.55006)], ist eine Ausarbeitung von Ideen von Segal. Während der erste direkt durch das Studium von Thom-Spektren und ihrer Struktur nahegelegt wird, ist der zweite durch die Analyse des Raumes motiviert, dessen Homotopie die algebraischen K-Gruppen eines Ringes sind. Der Autor vereinigt in der vorliegenden Arbeit beide Zugänge in einer gemeinsamen Verallgemeinerung. Sie entstand aus dem Bemühen, Resultate des Segal- Woolfson-Zuganges auch mit seinem ursprünglichen Ansatz zu erzielen. In den ersten drei Paragraphen der Arbeit wird dieses dritte Konzept vorgestellt und gezeigt, daß es eine Verallgemeinerung beider bestehender Zugänge zur multiplikativen Theorie der unendlichen Schleifenräume ist: Der Autor führt den Begriff ''Kategorie von Ringoperatoren'' ein. Ist J eine solche Kategorie, so ist ein J-Raum ein Funktor \(J\to Top\), der gewisse Bedingungen erfüllt. Er zeigt nun, daß jedes Operad-Paar eine Kategorie J von Ringoperatoren definiert und daß jeder Raum, auf dem dieses Operad-Paar operiert, in kanonischer Weise ein J-Raum ist. Da die Modellkategorie von Woolfson Spezialfall einer Kategorie von Ringoperatoren ist, fallen Woolfsons Inputs ebenfalls unter diesen Begriff. Insbesondere ist der klassifizierende Raum einer bipermutativen Kategorie stets ein J-Raum für eine spezielle Kategorie J von Ringoperatoren. Im vierten Paragraphen listet der Autor die Hauptergebnisse auf, den Übergang von J-Räumen zu Spektren mit multiplik…
Mathematics Subject Classification ID: 55P47
Mathematics Subject Classification ID: 55P42
Mathematics Subject Classification ID: 18D10
zbMATH DE Number: 3844630
zbMATH Keywords: multiplicative infinite loop spaces
zbMATH Keywords: category of ring operators
zbMATH Keywords: operads
zbMATH Keywords: bipermutative category
zbMATH Keywords: classifying spaces
zbMATH Keywords: spectra with multiplicative structures
zbMATH Keywords: ring spectra
zbMATH Keywords: smash products of spectra
author: J. P. May
reviewed by: Rainer Vogt
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0022-4049(82)90029-9
OpenAlex ID: W2141698143
cites work: Q5579535
cites work: Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces
cites work: \(H_{\infty}\) ring spectra and their applications
cites work: James Maps and E n Ring Spaces
cites work: The homology of iterated loop spaces
cites work: Homology Operations Revisited
cites work: The infinite loop Adams conjecture via classification theorems for ℱ-spaces
cites work: Coherence in closed categories
cites work: Category seminar. Proceedings Sydney category theory seminar 1972/1973
cites work: The geometry of iterated loop spaces
cites work: Q4766246
cites work: \(E_\infty\) ring spaces and \(E_\infty\) ring spectra. With contributions by Frank Quinn, Nigel Ray, and Jorgen Tornehave
cites work: Infinite loop space theory
cites work: Q4191272
cites work: The spectra associated to permutative categories
cites work: The spectra associated to ℐ-monoids
cites work: Q3859968
cites work: Q3855827
cites work: Pairings of categories and spectra
cites work: The uniqueness of infinite loop space machines
cites work: Categories and cohomology theories
cites work: Q3897708
cites work: A canonical operad pair
cites work: Infinite loop structures on the algebraicK-theory of spaces
cites work: Q5665322
cites work: Homotopy colimits in the category of small categories
cites work: Q3048986
cites work: HYPER-Γ-SPACES AND HYPERSPECTRA
cites work: Γ-SPACES, ORIENTATIONS AND COHOMOLOGY OPERATIONS
cites work: Q3036277
description: scientific article; zbMATH DE number 3844630