Multiplicative infinite loop space theory
Die Arbeit faßt die bestehende Literatur über die Grundlagen der Theorie der multiplikativen unendlichen Schleifenräume in übersichtlicher Weise zusammen und leistet damit auch einen Beitrag zu ihrer Vereinheitlichung. Bislang gab es zwei wesentlich verschiedene Zugänge zu dieser Theorie. Der ältere beruht auf der Basis der Operad-Paare des Autors \([E_\infty\) ring spaces and \(E_\infty\) ring spectra, Lect. Notes Math. 577 (1977; Zbl 0345.55007], der zweite, von \textit{R. Woolfson} [Q. J. Math., Oxf. II. Ser. 30, 229-255 (1979; Zbl 0411.55006)], ist eine Ausarbeitung von Ideen von Segal. Während der erste direkt durch das Studium von Thom-Spektren und ihrer Struktur nahegelegt wird, ist der zweite durch die Analyse des Raumes motiviert, dessen Homotopie die algebraischen K-Gruppen eines Ringes sind. Der Autor vereinigt in der vorliegenden Arbeit beide Zugänge in einer gemeinsamen Verallgemeinerung. Sie entstand aus dem Bemühen, Resultate des Segal- Woolfson-Zuganges auch mit seinem ursprünglichen Ansatz zu erzielen. In den ersten drei Paragraphen der Arbeit wird dieses dritte Konzept vorgestellt und gezeigt, daß es eine Verallgemeinerung beider bestehender Zugänge zur multiplikativen Theorie der unendlichen Schleifenräume ist: Der Autor führt den Begriff ''Kategorie von Ringoperatoren'' ein. Ist J eine solche Kategorie, so ist ein J-Raum ein Funktor \(J\to Top\), der gewisse Bedingungen erfüllt. Er zeigt nun, daß jedes Operad-Paar eine Kategorie J von Ringoperatoren definiert und daß jeder Raum, auf dem dieses Operad-Paar operiert, in kanonischer Weise ein J-Raum ist. Da die Modellkategorie von Woolfson Spezialfall einer Kategorie von Ringoperatoren ist, fallen Woolfsons Inputs ebenfalls unter diesen Begriff. Insbesondere ist der klassifizierende Raum einer bipermutativen Kategorie stets ein J-Raum für eine spezielle Kategorie J von Ringoperatoren. Im vierten Paragraphen listet der Autor die Hauptergebnisse auf, den Übergang von J-Räumen zu Spektren mit multiplikativer Struktur. Die Allgemeinheit seiner Inputs und die Definition von multiplikativen Strukturen auf Spektren mit Hilfe strikter Smashprodukte erlaubt es nicht, diesen Übergang in einem Schritt zu vollziehen. Vielmehr muß erst die multiplikative Struktur eines J-Raumes verbessert werden, bevor man in einem zweiten Schritt mit bereits bekannten Methoden zu multiplikativen Spektren kommt. Der nullte Raum eines solchen Spektrums ist in kanonische Weise ein J-Raum. Der Autor studiert seine Beziehungen zum ursprünglichen J-Raum. Die folgenden vier Paragraphen dienen den Beweisen dieser Ergebnisse. Der Autor benutzt einen ausführlichen Anhang dazu, unkorrekte Aussagen früherer Arbeiten zu berichtigen, soweit sie für die vorliegende Arbeit von Bedeutung sind, bzw. Wege aufzuzeigen, wie diese Aussagen modifiziert und dann bewiesen werden können. In einem letzten Teil des Anhangs geht er ausführlich auf einen Vergleich des Segal-Woolfson- Ansatzes mit dem vorliegenden Ansatz ein und kann zeigen, daß die Inputs im wesentlichen gleich sind. Auf der Outputseite stehen dagegen wesentlich verschiedene Kategorien von Spektren: Während der Autor mit strikten Smash-Produkten arbeitet, benutzt Woolfson Smash-Produkt- Strukturen bis auf Homotopie für seine multiplikativen Spektren. Er hat damit zwar ein höheres Maß an Flexibilität zum Preis erhöhter Komplexität, für die Anwendungen jedoch genügt bislang der einfacher handhabbare Begriff der multiplikativen Struktur mit strikten Smash-Produkten. Jedem Interessenten an der Theorie der multiplikativen unendlichen Schleifenräume ist die Lektüre dieser Arbeit zu empfehlen.
scientific article; zbMATH DE number 3844630
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