Quelques considérations concernant le problème de l'aiguille de Buffon dans l'espace euclidien \(E_ n\)
Verf. betrachtet als Verallgemeinerung des Buffon'schen Nadelproblems ein Hyperebenennetz \({\mathfrak R}_ n\) im \({\mathbb{R}}^ n\), das durch einen achsenparallelen Würfel mit der Kantenlänge 2\(\ell\) gegeben ist, und eine zufällige Nadel \(\omega\) der Länge \(\ell\) im \({\mathbb{R}}^ n\). Sei \(A_ k\) das Ereignis, daß \(\omega\) eine zu \(\{x_ k=0\}\) parallele Hyperebene von \({\mathfrak R}_ n\) trifft. Zunächst wird gezeigt, daß die Ereignisse \(A_ 1,...,A_ n\) stochastisch abhängig sind. Werden mehrere unabhängige Würfe der Nadel betrachtet und bezeichnet \(X_ i^{(k)}\) die Indikatorfunktion von \(A_ k\) im i-ten Wurf, so sind \(\hat P_ n=(1/nN)\sum^{N}_{i=1}(X_ i^{(1)}+...+X_ i^{(n)})\) und \(\hat P_ 1=(1/M)\sum^{M}_{i=1}X_ i^{(1)}\) für alle M,\(N\in {\mathbb{N}}\) erwartungstreue Schätzungen von \(P(A_ 1)\). Verf. berechnet die Varianzen von \(\hat P_ n\) und \(\hat P_ 1\) und zeigt, daß N Würfe auf das Hyperebenennetz statistisch die gleiche Information liefern wie \(M=\sigma(n)nN\) Würfe auf eine Parallelschar von Hyperebenen (mit Abstand 2\(\ell)\). \(\sigma\) (n) wird dabei durch einen komplizierten Ausdruck gegeben. Es wird vermutet, daß \(\sigma\) (n) für \(n\to \infty\) monoton fallend gegen 1 strebt. Für \(n=2\) sind entsprechende Resultate von \textit{E. F. Schuster} [Am. Math. Mon. 81, 26- 29 (1974; Zbl 0298.60009)] angegeben worden.
scientific article; zbMATH DE number 3844718
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