Mixed automorphic forms and invariants of elliptic surfaces
In dieser Arbeit werden elliptische Flächen p:\(E\to X\) mit Schnitt \(\sigma\) :\(X\to E\) untersucht. Dabei werden einige Ergebnisse aus Shiodas Arbeit über elliptische Modulflächen auf beliebige elliptische Flächen mit Schnitt verallgemeinert, wobei die sich bei Shioda auftretenden Spitzenformen vom Gewicht 3 durch gemischte automorphe Spitzenformen ersetzt werden. Der Satz von Riemann-Roch für Kurven liefert dann eine Formel für das geometrische Geschlecht \(p_ g(E).\) Weiter wird in {\S} 2 die Hodge-Zerlegung von \(H^ 2(E,{\mathbb{C}})\) genauer untersucht und mit der parabolischen Kohomologie der Monodromie des Faserbündels \(p_ 0:E_ 0\to X_ 0\) verglichen. Hierbei ist \(X_ 0=X\backslash \Sigma\), \(\Sigma =\{x\in X| p^{-1}(x)\) ist eine singuläre Faser\}, \(E_ 0=p^{-1}(X_ 0)\), \(p_ 0=p| E_ 0\); und die Monodromie ist der induzierte Homomorphismus \(\chi:\pi_ 1(X_ 0,*)\to SL(2,{\mathbb{Z}}).\) Diese Ergebnisse haben viele Berührpunkte zu P. Stillers Arbeiten über elliptische Flächen. In {\S} 3 werden topologische Invarianten der Faserung p:\(E\to X\) untersucht. Man erhält ebenso wie in {\S} 2 für das arithmetische Geschlecht die Abschätzung \(\chi({\mathcal O}_ E)\leq g(X)+\#\Sigma -1,\) die aber jetzt sogar in etwas allgemeinerer Situation gilt. Mittels dieser Ungleichung wird in {\S} 4 gezeigt, daß zu gegebenem X und endlichem \(\Sigma\subset X\) nur endlich viele elliptische Flächen über X mit Schnitt und nichtkonstanter j-Invariante existieren, die höchstens über Punkten aus \(\Sigma\) Ausnahmefasern haben. Ferner wird dort gezeigt, daß die Invarianten \(p_ g(E)\), \(\chi\) (\({\mathcal O}_ E)\), q(E), e(E) und \(h^{1,1}(E)\) für alle E aus Kodairas Familie \({\mathcal F}({\mathcal J},G)\) konstant sind. Schließlich werden einige Beispiele gerechnet.
scientific article; zbMATH DE number 3845747
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