Determinantal identities: Gauss, Schur, Cauchy, Sylvester, Kronecker, Jacobi, Binet, Laplace, Muir, and Cayley
Nombre de très grands mathématiciéns ont établi, dans le courant des 18me et 19me siècles, des identités comprenant des déterminants, que nous désignons ici pour abréger par des i.d. (determinantal identities en anglais). Les auteurs reprennent successivement une formule d'élimination de Gauss, les i.d. de Schur, Cauchy, Sylvester, Kronecker, Jacobi, Binet et Cauchy, Muir et Cayley, dont chacune peut être établie de plusieurs façons, pour donner à toutes ces i.d. une démonstration d'ensemble, très simple et reposant essentiellement sur les faits que l'élimination de Gauss n'altère pas la valeur d'un déterminant et que tout déterminant peut être développé selon la formule bien connue de Laplace. Rappelons en quoi consiste l'élimination de Gauss. Soit \(A=[a_{ij}]\) une matrice carrée d'ordre n sur un corps F, scindée en quatre blocs: \(\left[ \begin{matrix} E&F \\ G&H \end{matrix} \right]\), où \(E: A[1,...,k,1,...,k]\) est la sous-matrice supérieure principale carrée, d'ordre k, de A et 1\(\leq k\leq n\). Les AA. emploient, à plusieurs reprises, au cours de leur raisonnement la formule d'élimination suivante de Gauss qui a pour but de réduire G à une matrice nulle: \[ (1)\quad \left[ \begin{matrix} I_ k&0\\ -GE^{-1}&I_{n-k}\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} E&F \\ G&H \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} E&F \\ 0&H'\end{matrix} \right]. \] Lors de cette élimination, des combinaisons linéaires des k premières lignes de A sont ajoutées aux dernières n-k lignes. On tire de (1): \(H'=H-CE^{-1}F\) qui n'est autre que le complément de Schur A/E de E dans A. Il découle de (1) que le complément de Schur A/E de E est inversible si la matrice A l'est. On a donc l'identité de Schur: \(\det A=(\det E)(\det A/E).\) Puis, pas à pas, on déduit toutes les i.d. dues aux illustres auteurs cités. Ensuite, les AA. donnent un traitement formel des i.d. de mineurs de matrices et ils présentent deux méthodes permettant de déduire d'une i.d. donnée une autre i.d. L'exposé contient de nombreuses notes et précisions historiques et les AA. comparent leurs démonstrations à celles d'autres auteurs modernes. Une bibliographie de 29 titres termine cette étude.
scientific article; zbMATH DE number 3845759