A class number formula of Iwasawa's modules
type: Item
instance of: scholarly article
title: A class number formula of Iwasawa's modules
zbMATH Open document ID: 0534.12004
author: Takashi Fukuda
published in: Kodai Mathematical Journal
publication date: 1982-01-01T00:00:00Z
review text: Gegeben sei ein imaginärer abelscher Zahlkörper \(k\) und eine zum Grad von \(k/\mathbb Q\) teilerfremde ungerade Primzahl \(p\). Sei \(k_{\infty}\) die zyklotomische \(\mathbb Z_ p\)-Erweiterung von \(k\); für \(n\in\mathbb N\) sei \(k_ n\) der Zwischenkörper vom Grad \(p^ n\) über \(k\), \(\Gamma_ n\) die Galoisgruppe von \(k_{\infty}/k_ n\) und \(A_ n\) die \(p\)-Sylowuntergruppe der Idealklassengruppe von \(k_ n.\) Betrachtet werden die Faktorgruppen \(A'_ n=A_ n/D_ n\) von \(A_ n\) nach der Untergruppe \(D_ n\), bestehend aus den Klassen von Idealen der Form \(\prod {\mathfrak p}^{m_{{\mathfrak p}}}\), wobei \({\mathfrak p}\) die Primteiler von \(p\) in \(k_ n\) durchläuft, und die Gruppe \(A'_{\infty}=\lim_{\to}A'_ n\). Geht man von \(A'_{\infty}\) zum imaginären Anteil \(A_{\infty}^{\prime-}\) über, so sind nach einem Ergebnis von Ferrero-Greenberg die Fixgruppen \((A^{\prime-}_{\infty})^{\Gamma_ n}\) sämtlich endlich. Der Autor berechnet die Ordnung dieser Fixgruppen \((A^{\prime-}_{\infty})^{\Gamma_ n}\); er beweist dafür eine Formel, in der auf der rechten Seite spezielle Werte der zu \(k\) gehörigen \(p\)-adischen \(L\)-Funktionen stehen. Der Beweis benutzt die Gaußschen Summen und ihre Beziehungen zu gewissen Werten der \(p\)-adischen \(\Gamma\)-Funktion nach Gross-Koblitz und eine Formel über die Werte von \(p\)-adischen \(L\)-Funktionen an der Stelle 0 von Ferrero-Greenberg.
reviewed by: Günter Tamme
Mathematics Subject Classification ID: 11R29
Mathematics Subject Classification ID: 11R23
Mathematics Subject Classification ID: 11R18
Mathematics Subject Classification ID: 11S40
Mathematics Subject Classification ID: 11L03
zbMATH DE Number: 3847514
zbMATH Keywords: class number formula
zbMATH Keywords: Iwasawa modules
zbMATH Keywords: Teichmüller character
zbMATH Keywords: cyclotomic-extension
zbMATH Keywords: p-class group
zbMATH Keywords: order of fixed group
zbMATH Keywords: Gauss sum
zbMATH Keywords: p-adic gamma function
zbMATH Keywords: values of p-adic L-function at \(s=0\)
zbMATH Keywords: imaginary Abelian field
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2996/kmj/1138036616
OpenAlex ID: W2093322889
cites work: On l-adic zeta functions
cites work: On the behavior of \(p\)-adic \(L\)-functions at \(s=0\)
cites work: On a certain \(l\)-adic representation
cites work: Gauss sums and the p-adic \(\Gamma\)-function
cites work: Lectures on P-Adic L-Functions. (AM-74)
cites work: On \(\mathbb Z_{\ell}\)-extensions of algebraic number fields
cites work: Regulators and Iwasawa modules
DOI: 10.2996/KMJ/1138036616
description: scientific article; zbMATH DE number 3847514