A class number formula of Iwasawa's modules
Gegeben sei ein imaginärer abelscher Zahlkörper \(k\) und eine zum Grad von \(k/\mathbb Q\) teilerfremde ungerade Primzahl \(p\). Sei \(k_{\infty}\) die zyklotomische \(\mathbb Z_ p\)-Erweiterung von \(k\); für \(n\in\mathbb N\) sei \(k_ n\) der Zwischenkörper vom Grad \(p^ n\) über \(k\), \(\Gamma_ n\) die Galoisgruppe von \(k_{\infty}/k_ n\) und \(A_ n\) die \(p\)-Sylowuntergruppe der Idealklassengruppe von \(k_ n.\) Betrachtet werden die Faktorgruppen \(A'_ n=A_ n/D_ n\) von \(A_ n\) nach der Untergruppe \(D_ n\), bestehend aus den Klassen von Idealen der Form \(\prod {\mathfrak p}^{m_{{\mathfrak p}}}\), wobei \({\mathfrak p}\) die Primteiler von \(p\) in \(k_ n\) durchläuft, und die Gruppe \(A'_{\infty}=\lim_{\to}A'_ n\). Geht man von \(A'_{\infty}\) zum imaginären Anteil \(A_{\infty}^{\prime-}\) über, so sind nach einem Ergebnis von Ferrero-Greenberg die Fixgruppen \((A^{\prime-}_{\infty})^{\Gamma_ n}\) sämtlich endlich. Der Autor berechnet die Ordnung dieser Fixgruppen \((A^{\prime-}_{\infty})^{\Gamma_ n}\); er beweist dafür eine Formel, in der auf der rechten Seite spezielle Werte der zu \(k\) gehörigen \(p\)-adischen \(L\)-Funktionen stehen. Der Beweis benutzt die Gaußschen Summen und ihre Beziehungen zu gewissen Werten der \(p\)-adischen \(\Gamma\)-Funktion nach Gross-Koblitz und eine Formel über die Werte von \(p\)-adischen \(L\)-Funktionen an der Stelle 0 von Ferrero-Greenberg.
scientific article; zbMATH DE number 3847514