Über Normformungleichungen mit beschränkter Lösungsmenge
In dieser Arbeit werden Ergebnisse von W. M. Schmidt und H. P. Schlickewei über Normformgleichungen verallgemeinert. Sei k ein Körper mit char k\(=0\), k[t] der Ring der Polynome über k, k(t) der Quotientenkörper von k[t] und K eine endliche Erweiterung von k(t); \({\mathfrak R}\) sei eine endliche Menge von Primpolynomen \(P_ 1,...,P_ s\) aus k[t]. Bezeichne \(| |_{\tau}\) die durch \(P_{\tau}\in {\mathfrak R}\) definierte, und \(| |_ 0\) die zu \(t^{-1}\) gehörige Bewertung auf k(t). Sei \(M({\mathfrak x})=\mu_ 1x_ 1+...+\mu_ nx_ n\) eine Linearform mit über k(t) linear unabhängigen Koeffizienten \(\mu_ 1,...,\mu_ n\in K\) und \({\mathfrak N}_ K\) die Normfunktion von K über k(t). Eine Lösung \({\mathfrak x}\in k[t]^ n\) der Gleichung \((1)\quad \prod^{s}_{\tau =0}| {\mathfrak N}_ K(M({\mathfrak x}))|_{\tau}=c,\) \(c\in k(t)\) heißt primitiv, wenn nicht alle ihre Koordinaten durch ein \(P_{\tau}\in {\mathfrak R}\) teilbar sind. Dem Verf. gelang es, den Begriff des ausgearteten Moduls so zu verallgemeinern, daß er beweisen konnte: Dann und nur dann gibt es eine Konstante c, für welche (1) unendlich viele primitive Lösungen \({\mathfrak x}\in k[t]^ n\) mit sup \(| {\mathfrak x}|_ 0=\infty\) besitzt, wenn der Modul \(M=\{\mu_ 1x_ 1+...+\mu_ nx_ n;\quad(x_ 1,...,x_ n)\in k[t]^ n\}\) ausgeartet ist. Wenn M nicht ausgeartet ist, \(n\geq 2\), \(\epsilon>0\), dann sind nicht nur die primitiven Lösungen von (1), sondern auch die der Ungleichung \(\prod^{s}_{\tau =0}| {\mathfrak N}_ K(M({\mathfrak x}))|_{\tau}<| {\mathfrak x}|_ 0\!^{1/(n-1)-\epsilon}\) beschränkt. Unter gewissen Voraussetzungen kann der Verf. diesen Satz wesentlich verschärfen. - Diese Arbeit ist die natürliche Fortsetzung der unlängst veröffentlichten Ergebnisse des Autors [J. Number Theory 18, 56-68 (1984; Zbl 0531.10020].
scientific article; zbMATH DE number 3849319