Integrale zweiter Gattung auf Mumfordkurven
Die analytische Theorie der Mumfordkurven wurde in den bisherigen Untersuchungen auf Funktionen gestützt, die als unendliche Produkte dargestellt wurden und die als Verallgemeinerungen der klassischen Weierstraßschen \(\sigma\)-Funktion und der Thetafunktionen betrachtet werden können. In der Arbeit wird gezeigt, daß diese Kurven auch mit Hilfe von Funktionen untersucht werden können, die durch unendliche Summen erklärt sind und die als Analoga zu der Weierstraßschen \(\zeta\)-Funktion erscheinen. Man kann diese unendlichen Reihen auch als Integrale gewisser Differentiale zweiter Gattung auf der Mumfordkurve auffassen. Die Perioden dieser Integrale kann man mit Hilfe der Differentiale erster Gattung berechnen. Auf diese Weise erhält man den Satz von Riemann-Roch in expliziter und gleichmäßiger Form. Man erhält eine kanonische Zerlegung \(\Omega_ 1\oplus dI\) des Vektorraumes der Differentiale zweiter Gattung, wo \(\Omega_ 1\) der Vektorraum der analytischen Differentiale ist und dI der Vektorraum der auf der universellen Überlagerung der Kurve integrierbaren Differentiale ist. Die Ergebnisse dieser Arbeit lassen sich ganz entsprechend für analytische Familien von Mumfordkurven vom Geschlecht g ableiten. Für den Gauss-Manin-Zusammenhang einer jeden solchen Familie erhält man g linear unabhängige horizontale Elemente, indem man Integrale wählt, deren Perioden als Funktionen auf dem Parameterraum konstant sind.
scientific article; zbMATH DE number 3849401