\(K_2\)-cohomology and the second Chow group
type: Item
instance of: scholarly article
title: \(K_2\)-cohomology and the second Chow group
zbMATH Open document ID: 0536.14004
DOI: 10.1007/BF01456181
author: Jean-Louis Colliot-Thélène
author: Wayne Raskind
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/182953
review text: Nach den bahnbrechenden Ergebnissen von \textit{A. S. Merkur'ev} und \textit{A. A. Suslin} [Math. USSR, Izv. 21, 307--340 (1983); translation from Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 46, No. 5, 1011--1046 (1982; Zbl 0525.18008)] und \textit{A. A. Suslin} [``Torsion in \(K_2\) of fields'', LOMI preprint (1982); see also K-Theory 1, No. 1, 5--29 (1987; Zbl 0635.12015)] ist es möglich geworden, ein von Bloch stammendes Programm [\textit{S. Bloch}, Bull. Am. Math. Soc. 80, 941--945 (1974; Zbl 0289.14002) und ``Groupe de Brauer, Sémin., Les Plans-sur-Bex 1980'', Lect. Notes Math. 844, 76--102 (1981; Zbl 0467.12011)] weiterzuentwickeln. Es geht darum, aus den Beziehungen zwischen \(K\)-Theorie und Étalcohomologie, Schlüsse für die Struktur der Chowgruppen \(\mathrm{CH}^n(X) (= \) Zyklen) der Kodimension \(n\) auf einer glatten algebraischen Varietät \(X\), modulo rationaler Äquivalenz) zu ziehen. Genauer heißt es im Augenblick, die Torsionsuntergruppe von \(\mathrm{CH}^2(X)\) zu studieren. Zu diesem Thema, siehe die oben erwähnten Arbeiten, und \textit{S. Bloch}, Compos. Math. 39, 107--127 (1979; Zbl 0463.14002); ``Lectures on algebraic cycles'', Duke Univ. Math. Ser. IV (1980; Zbl 0436.14003); Ann. Sci. Ec. Norm. Supér., IV. Sér. 14, 41--59 (1981; Zbl 0524.14006); \textit{J.-L. Colliot-Thélène}, Invent. Math. 71, 1--20 (1983; Zbl 0527.14011); \textit{J.-L. Colliot-Thélène} and \textit{ J.-J. Sansuc} und \textit{C. Soulé}, Duke Math. J. 50, 763--801 (1983; Zbl 0574.14004). Im folgenden sei \(k\) ein Körper, \(\operatorname{Char} k=0,\) \(\bar k\) ein algebraischer Abschluß von \(k\); sei \(X/k\) eine glatte vollständige Varietät, und \(\bar X=X\times_k\bar k\). Beim Studium der Gruppe \(\mathrm{CH}^2(X)=H^2_{\text{Zar}}(X,\underline K_2)\) (Bloch-Quillen Formel) erscheint es wichtig, Näheres über die Galoismoduln \(H^i(\bar X,\underline K_2)\) für \(i=0,1\) zu wissen, und dies ist das Hauptthema der vorliegenden Arbeit. Es wird gezeigt: diese beiden Gruppen sind Erweiterungen…
Mathematics Subject Classification ID: 14C15
Mathematics Subject Classification ID: 14C35
Mathematics Subject Classification ID: 12G05
Mathematics Subject Classification ID: 14C05
Mathematics Subject Classification ID: 19C99
Mathematics Subject Classification ID: 18F25
zbMATH DE Number: 3851249
zbMATH Keywords: torsion subgroup of second Chow group
zbMATH Keywords: \(K_2\)-cohomology
zbMATH Keywords: Galois module structure
zbMATH Keywords: Bloch-Quillen-formula
zbMATH Keywords: Neron-Severi group
zbMATH Keywords: Picard variety
MaRDI profile type: Publication
cites work: Torsion algebraic cycles, K2, and Brauer groups of function fields
cites work: Q3913511
cites work: Q3876042
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cites work: Algebraic K-theory and classfield theory for arithmetic surfaces
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OpenAlex ID: W2028521966
description: scientific article; zbMATH DE number 3851249